a) Ta có: AIBC nội tiếp ( O') 

=> ^BAC = ^BIC (1) 

ABDE  nội tiếp ( O)  có CA là tiếp tuyến 

=> ^CAB = ^ADB ( cùng chắn cung AB )  (2)

Từ (1) ; (2) => ^ADB = ^BIC => ^KDB = ^CIB   => B; I; K; D nội tiếp => ^KBD = ^KID  

mà ^KBD = ^EBD = ^EAD = FAD

=> ^FAD = ^KID = ^FID 

=> FAID nội tiếp 

b) Kéo dài tia FD ------> tia Fx

FAID nội tiếp => ^DFI = ^DAI 

I; A: C; B nội tiếp ( O') => ^IAB = ^ICB 

=> ^DFI + ^ICB = ^DAI + ^IAB 

Mà ^xDC = ^DFC + ^DCF = ^DFI + ^ICB 

^DAB = ^DAI + ^IAB 

=> ^xDC = ^DAB  => ^xDB = ^DAB  

=> Dx là tiếp tuyến  ( O)

=> DF là tiếp tuyến ( O)

Vi (O) giao (J) tai K,A suy ra OJ vuong goc voi AK

=> \(KI//OJ\Leftrightarrow AK\perp KI\)

mat khac (I) cat (J) tai M,N nen \(IJ\perp MN\)

ma \(OA\perp MN\) (xem nhu mot bo de)

suy ra\(AO//IJ\)

chung minh tu tu cung co \(AJ//OI\)

=> AJIO la hinh binh hanh

Goi AI giao OJ tai E

=> \(EA=EI=EK\)

=> \(\Delta AKI\) vuong tai K

tuc la \(AK\perp KI\) <=> dpcm

P/s : cai cho xem nhu mot bo de ban co the tu chung minh bang cach ve them hinh phu ma cu the la ve them tiep tuyen tai A

mik trinh bay hoi tat co gi mong bn thong cam

1)

c) Ta có : CK // AB ( \(\perp\)BD )

Xét \(\Delta ABD\)theo định lí Ta-let,ta có :

\(\frac{IK}{AB}=\frac{KD}{BD}\Rightarrow IK.BD=AB.KD\)( 1 )

Xét \(\Delta ABO\)và \(\Delta CKD\)có 

\(\widehat{ABO}=\widehat{CKD}=90^o\); \(\widehat{AOB}=\widehat{CDK}\)( cùng bù \(\widehat{CBD}\)) 

\(\Rightarrow\Delta ABO\approx\Delta CKD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{KD}{BO}=\frac{CK}{AB}\Rightarrow CK.BO=KD.AB\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(CK.BO=IK.BD=IK.2BO\)

\(\Rightarrow CK=2IK\)\(\Rightarrow\)I là trung điểm của CK

2) 

c) dễ thấy AM = AN \(\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)( 1 )

vì H là trung điểm dây BC nên \(OH\perp BC\)hay \(\widehat{AHO}=90^o\)

Từ đó dễ dàng suy ra 5 điểm A,M,O,H,N cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\)Từ giác AMHN nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AHN}=\widehat{AMN};\widehat{AHM}=\widehat{ANM}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{AHN}=\widehat{AHM}\)\(\Rightarrow\)HA là tia phân giác \(\widehat{MHN}\)

d) BE // AM \(\Rightarrow\widehat{EBH}=\widehat{MAB}\)

\(\widehat{MAH}=\widehat{MNH}\)( do tứ giác AMHN nội tiếp )

\(\Rightarrow\widehat{EBH}=\widehat{MNH}\)\(\Rightarrow\)Tứ giác EBNH nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EHB}=\widehat{ENB}\)

Mặt khác : \(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\right)\)

Suy ra \(\widehat{EHB}=\widehat{MCB}\Rightarrow HE//MC\)

hello

Áp dụng BĐT Cô si cho vế trái ta có 

\(\left(ab+2bc\right)\left(2ab+bc\right)\le\frac{\left(3\left(ab+bc\right)\right)^2}{4}\)

=> ĐPCM  dấu = khi a = b 

_Kudo_

Cộng vế hai biểu thức ta đc \(7x=21\)=> x =3 

thay vào ta tìm đc y=5

_Kudo_

Chứng minh tương đương là xong nha

\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab^2c+b^2c^2\le2a^2b^2+2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2\ge0\)luôn đúng

dấu = khi a=c

_Kudo_

Áp dụng bđt Bunhiacopski:

\(2\left(a^2b^2+b^2c^2\right)=\left(1+1\right)\left(a^2b^2+b^2c^2\right)\ge\left(ab+bc\right)^2\)

Dấu "=" khi a = c

gọi vận tốc dòng nước là x 

theo bài ra ta có 

thời gian lúc đi xuôi = \(\frac{48}{28+x}\)

thời gian lúc đi ngược \(=\frac{48}{28-x}\)

vì thời lúc về lâu hơn thời gian lúc đi 30' 

=> \(\frac{48}{28+x}=\frac{48}{28-x}-\frac{1}{2}\)

giải ra là xong nha 

_Kudo_