a: \(M=P:Q\)

\(=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-1\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{1}=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

b: M<3/2

=>\(M-\dfrac{3}{2}< 0\)

=>\(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{3}{2}< 0\)

=>\(\dfrac{2\left(2\sqrt{x}+1\right)-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

=>\(2\left(2\sqrt{x}+1\right)-3\left(\sqrt{x}+1\right)< 0\)

=>\(\sqrt{x}-1< 0\)

=>\(\sqrt{x}< 1\)

=>0<=x<1

a: Sửa đề: Trên cung nhỏ BC lấy điểm E

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

Xét tứ giác BEFI có \(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)DB tại C

Xét ΔAIF vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAIF~ΔAEB

=>\(\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\)

=>\(AI\cdot AB=AF\cdot AE\left(1\right)\)

Xét ΔACB vuông tại C có CI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AC^2\left(2\right)\)

Xét ΔADB vuông tại A có AC là đường cao

nên \(CA^2=CD\cdot CB\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(AE\cdot AF=CB\cdot DC\)

Câu 2: Gọi vận tốc thật của cano là x(km/h)

(ĐK: x>4)

Vận tốc lúc đi là x+4(km/h)

vận tốc lúc về là x-4(km/h)

Thời gian đi là \(\dfrac{30}{x+4}\left(giờ\right)\)

Thời gian về là \(\dfrac{30}{x-4}\left(giờ\right)\)

Tổng thời gian cả đi lẫn về là 4 giờ nên ta có:

\(\dfrac{30}{x+4}+\dfrac{30}{x-4}=4\)

=>\(\dfrac{15}{x+4}+\dfrac{15}{x-4}=2\)

=>\(\dfrac{15\left(x-4\right)+15\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=2\)

=>\(2\left(x^2-16\right)=30x\)

=>\(x^2-16=15x\)

=>\(x^2-15x-16=0\)

=>(x-16)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=16\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: vận tốc thật của cano là 16km/h

\(B=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{2\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{2x+4\sqrt{x}-x+1-2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\)

a: \(\left(x-1\right)^2+1=-2x^2+8\)

=>\(x^2-2x+1+1+2x^2-8=0\)

=>\(3x^2-2x-6=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot3\cdot\left(-6\right)=4+72=76>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2-\sqrt{76}}{2\cdot3}=\dfrac{2-2\sqrt{19}}{6}=\dfrac{1-\sqrt{19}}{3}\\x_2=\dfrac{2+\sqrt{76}}{2\cdot3}=\dfrac{1+\sqrt{19}}{3}\end{matrix}\right.\)

b: \(x^3\left(x+1\right)-7=x^2\left(x+7\right)+1\)

=>\(x^4+x^3-7-x^3-7x^2-1=0\)

=>\(x^4-7x^2-8=0\)

=>\(\left(x^2-8\right)\left(x^2+1\right)=0\)

=>\(x^2-8=0\)

=>\(x^2=8\)

=>\(x=\pm2\sqrt{2}\)

Câu 9: Sửa đề: (P): y=x²

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=\left(m-1\right)x+m+4\)

=>\(x^2-\left(m-1\right)x-m-4=0\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục Oy thì a*c<0

=>1(-m-4)<0

=>m+4>0

=>m>-4