Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn. Vẽ tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn tâm O(M khác A,B), vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến này cắt Ax và BY theo thứ tự C và D.a) tính góc AMBb)c/m AC+BD=CDc)c/m tích AC.BD luôn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.Help me...
Đọc tiếp
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn. Vẽ tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn tâm O(M khác A,B), vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến này cắt Ax và BY theo thứ tự C và D.
a) tính góc AMB
b)c/m AC+BD=CD
c)c/m tích AC.BD luôn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
Help me 😓😅
a: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó:ΔAMB vuông tại M
b: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến
DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB
=>AC+BD=CM+MD=CD
- Theo câu b), ta có: \(CM=CA\) và \(DM=DB\).
Nên \(AC.BD=MC.MD\left(1\right)\).
- Từ O, kẻ đường vuông góc với AB cắt CD tại I.
Suy ra OI//AC//BD (vì cùng vuông góc với AB).
- Xét hình thang ACDB (AC//BD), ta có:
O là trung điểm AB (AB là đường kính của \(\left(O\right)\) ) và OI//AC//BD.
- Suy ra I là trung điểm CD.
- Suy ra OI là đường trung bình của hình thang ACDB.
Nên \(OI=\dfrac{AC+BD}{2}\). Mà \(AC+BD=CD\left(cmt\right)\)
- Suy ra \(OI=\dfrac{CD}{2}\).
- Xét \(\Delta COD\), ta có:
OI là trung tuyến ứng với cạnh CD và \(OI=\dfrac{CD}{2}\).
- Suy ra \(\Delta COD\) vuông tại O. Mà OM là đường cao.
- Suy ra \(MC.MD=OM^2\left(2\right)\) (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông).
- Từ (1) và (2), ta có: \(AC.BD=OM^2\).
Mà độ dài \(OM\) không đổi, vì \(OM\) là bán kính của \(\left(O\right)\).
Nên \(AC.BD\) luôn không đổi.
- Vậy ta có đpcm.