a: ΔOBA cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)AB tại I

Ta có: \(\widehat{OIM}=\widehat{OCM}=\widehat{ODM}=90^0\)

=>O,I,C,M,D cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b: Xét (O) có

MC,MD là các tiếp tuyến

Do đó: MC=MD

=>M nằm trên đường trung trực của CD(1)

Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của CD

=>OM\(\perp\)CD tại H và H là trung điểm của CD

Xét ΔEOM có

MI,EH là các đường cao

MI cắt EH tại S

Do đó: S là trực tâm của ΔEOM

=>OS\(\perp\)EM

em xem đề lại nhé

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=6\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=1\end{matrix}\right.\)

\(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=6+2\cdot\sqrt{1}=8\)

=>\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2\sqrt{2}\)

\(M=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\dfrac{x_2^2-6x_2}{x_1}+\dfrac{x_1^2-6x_1}{x_2}\)

\(=2\sqrt{2}+\dfrac{-1}{x_1}+\dfrac{-1}{x_2}\)

\(=2\sqrt{2}-\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)\)

\(=2\sqrt{2}-\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2\sqrt{2}-\dfrac{6}{1}=2\sqrt{2}-6\)

a: Thay x=1 vào (P), ta được:

\(y=-2\cdot1^2=-2\)

Thay x=-2 vào (P), ta được: \(y=-2\cdot\left(-2\right)^2=-8\)

Vậy: A(1;-2); B(-2;-8)

Gọi (d'): y=ax+b là phương trình đường thẳng cần tìm

Thay x=1 và y=-2 vào (d'), ta được:

\(a\cdot1+b=-2\)

=>a+b=-2(1)

Thay x=-2 và y=-8 vào (d'), ta được:

\(a\cdot\left(-2\right)+b=-8\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-2\\-2a+b=-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3a=6\\a+b=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-4\end{matrix}\right.\)

vậy: (d'): y=2x-4

Câu 4:

1: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác BHIC có \(\widehat{IHB}+\widehat{ICB}=90^0+90^0=180^0\)

nên BHIC là tứ giác nội tiếp

2: Xét ΔAHI vuông tại H và ΔACB vuông tại C có

\(\widehat{HAI}\) chung

Do đó: ΔAHI~ΔACB

=>\(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AI}{AB}\)

=>\(AH\cdot AB=AI\cdot AC\)

Xét (O) có

ΔBAE nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBEA vuông tại E

Xét ΔBHI vuông tại H và ΔBEA vuông tại E có

\(\widehat{HBI}\) chung

Do đó: ΔBHI~ΔBEA

=>\(\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{BI}{BA}\)

=>\(BH\cdot BA=BI\cdot BE\)

\(AI\cdot AC+BI\cdot BE\)

\(=AH\cdot AB+BH\cdot AB=AB^2\) không đổi

bài 1:

a: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=5\\2x+y=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=5\\4x+2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x=1\\2x+y=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2-2x=2-2\cdot\left(-1\right)=4\end{matrix}\right.\)

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=5^2-2\cdot2=25-4=21\)

a: \(x^2-x-6=0\)

=>(x-3)(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

b: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5^2-2\cdot3=25-6=19\)

=>\(x_2^2=19-x_1^2\)

=>\(2x_2^2=38-2x_1^2\)

\(P=x_1^2-2x_1+\left(2x_2^2+9x_1-40\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(38-2x_1^2+9x_1-40\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(-2x_1^2+9x_1-2\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(2x_1^2-9x_1+2\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(2x_1^2-10x_1+6+x_1-4\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(x_1-4\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+x_1^2-8x_1+16\)

\(=2x_1^2-10x_1+16\)

\(=2x_1^2-10x_1+6+10=0+10=10\)