a: Sửa đề: Phân giác của góc MAN cắt MN tại B

Xét ΔAMB vuông tại M và ΔACB vuông tại C có

AB chung

\(\widehat{MAB}=\widehat{CAB}\)

Do đó: ΔAMB=ΔACB

b: ΔAMB=ΔACB

=>AM=AC và BM=BC

Xét ΔBMG vuông tại M và ΔBCN vuông tại C có

BM=BC

\(\widehat{MBG}=\widehat{CBN}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó:ΔBMG=ΔBCN

=>BG=BN

=>B nằm trên đường trung trực của GN(1)

ΔBMG=ΔBCN

=>MG=CN

ta có: AM+MG=AG

AC+CN=AN

mà AM=AC và MG=CN

nên AG=AN

=>A nằm trên đường trung trực của GN(2)

Từ (1),(2) suy ra AB là đường trung trực của GN

a) Do BI là tia phân giác của ∠ABC (gt)

⇒ ∠ABI = ∠CBI

⇒ ∠ABI = ∠DBI

Xét hai tam giác vuông: ∆ABI và ∆DBI có:

BI là cạnh chung

∠ABI = ∠DBI (cmt)

⇒ ∆ABI = ∆DBI (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do ∆ABI = ∆DBI (cmt)

⇒ AB = DB (hai cạnh tương ứng)

⇒ ∆ADB cân tại B

Do AB = DB (cmt)

⇒ B nằm trên đường trung trực của AD (1)

Do ∆ABI = ∆DBI (cmt)

⇒ IA = ID (hai cạnh tương ứng)

I nằm trên đường trung trực của AD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BI là đường trung trực của AD

c) ∆AIE vuông tại A

⇒ IE là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất

⇒ IA < IE

Mà IA = ID (cmt)

⇒ ID < IE

Xét hai tam giác vuông: ∆AIE và ∆DIC có:

IA = ID (cmt)

∠AIE = ∠DIC (đối đỉnh)

⇒ ∆AIE = ∆DIC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ IE = IC (hai cạnh tương ứng)

a: Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có

BC chung

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

b: ΔEBC=ΔDCB

=>\(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\)

=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

=>ΔHBC cân tại H

ta có: HB=HC

=>H nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AH là đường trung trực của BC

vẽ hình ra hộ cái

a: ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-52^0}{2}=\dfrac{128^0}{2}=64^0\)

Xét ΔABC có \(\widehat{ACB}>\widehat{BAC}\)

mà AB,BC lần lượt là cạnh đối diện của các góc ACB,BAC

nên AB>BC

b: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AI chung

IB=IC

AB=AC

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

a: Ta có: OA+AB=OB

OC+CD=OD

mà OA=OC và AB=CD

nên OB=OD

=>ΔOBD cân tại O

b: Xét ΔABD và ΔCDB có

AB=CD

\(\widehat{ABD}=\widehat{CDB}\)(ΔDOB cân tại O)

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔCDB

=>\(\widehat{IDB}=\widehat{IBD}\)

=>ΔIBD cân tại I

=>IB=ID

Ta có: ΔABD=ΔCDB

=>AD=BC

ta có: AD=AI+ID

BC=BI+CI

mà ID=IB và AD=BC

nên IA=IC

=>ΔIAC cân tại I

c: Xét ΔOAI và ΔOCI có

OA=OC

AI=CI

OI chung

Do đó: ΔOAI=ΔOCI

\(S⋮T\)

=>\(3x^3+2x^2-7x+a⋮3x-1\)

=>\(3x^3-x^2+3x^2-x-6x+2+a-2⋮3x-1\)

=>a-2=0

=>a=2

a: Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

nên ΔABC vuông tại A

b; 

Ta có: \(\widehat{ABQ}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABQ}+60^0=180^0\)

=>\(\widehat{ABQ}=120^0\)

ΔBAQ cân tại B

=>\(\widehat{BQA}=\widehat{BAQ}=\dfrac{180^0-120^0}{2}=30^0\)

BE là phân giác của góc ABC

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=30^0\)

\(\widehat{CBE}=\widehat{CQA}\)(=30⁰)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên BE//AQ

a: Xét ΔMNE vuông tại M và ΔDNE vuông tại D có

NE chung

NM=ND

Do đó: ΔMNE=ΔDNE

b: ΔMNE=ΔDNE

=>EM=ED

=>E nằm trên đường trung trực của MD(1)

ta có: NM=ND

=>N nằm trên đường trung trực của MD(2)

Từ (1),(2) suy ra NE là đường trung trực của MD

=>NE\(\perp\)MD tại A

=>NA là đường cao của ΔDNM

c: Ta có: \(\widehat{PMD}+\widehat{NMD}=\widehat{NMP}=90^0\)

\(\widehat{DMH}+\widehat{NDM}=90^0\)(ΔHDM vuông tại H)

mà \(\widehat{NMD}=\widehat{NDM}\)(NM=ND)

nên \(\widehat{PMD}=\widehat{DMH}\)

=>MD là phân giác của góc HMP

d: Gọi K là giao điểm của PF và NM

Xét ΔPKN có

NF,PM là các đường cao

NF cắt PM tại E
Do đó:E  là trực tâm của ΔPKN

=>KE\(\perp\)NP

mà ED\(\perp\)NP

nên K,E,D thẳng hàng

=>NM,DE,PF đồng quy tại K

Đặt \(\widehat{D}=a;\widehat{E}=b;\widehat{F}=c\)

Số đo các góc D,E,F lần lượt tỉ lệ thuận với 3;1;2

=>\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{2}\)

Xét ΔDEF có \(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180^0\)

=>a+b+c=180

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b+c}{3+1+2}=\dfrac{180}{6}=30\)

=>\(a=30\cdot3=90;b=30\cdot1=30;c=30\cdot2=60\)

Vậy: \(\widehat{D}=90^0;\widehat{E}=30^0;\widehat{F}=60^0\)