Nửa chu vi: \(360\div2=180\left(m\right)\)

Gọi x là chiều rộng khu vui chơi (m) ( 0<x<180)

Vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng nên kí hiệu là 3x

Do đó : \(\Rightarrow3x+x=180\\ \Leftrightarrow4x=180\\ \Leftrightarrow x=180\div4\\ \Leftrightarrow x=45\left(m\right)\)

Nên chiều rộng là 45m

        chiều dài là 45.3=135(m)

Vậy diện tích khu vui chơi hcn là \(135\times45=6075\left(m^2\right)\)

Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng khu vui chơi hình chữ nhật

Theo đề bài, ta có:

\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right).2=360\\2a-3b=60\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+2b=360\left(1\right)\\2a-3b=60\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1)-(2) \(\Rightarrow5b=300\Rightarrow b=60\left(m\right)\)

\(\Rightarrow a=\frac{360}{2}-60=120\left(m\right)\)

Diện tích khu vui chơi hình chữ nhật là:

\(S=a.b=120.60=7200\left(m^2\right)\)

a) thay m=-1 vào x²(2m-1)x-m=0 ta có:

x²+(-3)x+1=0\(\Delta\)=5

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

b) A=\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\)

Vi-et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1x_2=-m\end{cases}}\)

=> \(A=\left(1-2m\right)^2-3\left(-m\right)=4m^2-4m+1+3m=4m^2-m+1\)

\(\sqrt[3]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[3]{b^2+\frac{1}{b^2}}\ge2\sqrt[6]{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+a^2b^2+\frac{1}{a^2b^2}}\ge2\sqrt[6]{2+a^2b^2+\frac{1}{a^2b^2}}\)

đến đây thì ta thấy từ giả thuyết có \(a+b=\frac{2}{3}\Rightarrow a^2b^2\le\frac{1}{81}\)

Xét:

\(a^2b^2+\frac{1}{a^2b^2}=\left(a^2b^2+\frac{1}{6561a^2b^2}\right)+\frac{6560}{6561a^2b^2}\ge\frac{6562}{81}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[3]{b^2+\frac{1}{b^2}}\ge2\sqrt[3]{\frac{82}{9}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{3}\)

em nghĩ bài này tìm giá trị lớn nhất ạ

\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2=\left(1\cdot\sqrt{a+b}+1\cdot\sqrt{b+c}+1\cdot\sqrt{c+a}\right)^2\)

áp dụng bđt Cauchy-Schwartz, ta có:

\(P^2\le\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left[1^2+1^2+1^2\right]\)

\(P^2\le2\cdot3=6\)

Vậy \(P\le\sqrt{6}\)

dấu "="xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)