Đề bài sai, ví dụ với \(n=4\) thì \(n^2-3n+4=8\) ko chia hết \(n-1=3\)

TK:

a) Ta sẽ chứng minh A là trọng tâm của tam giác BCD bằng cách chứng minh rằng AH là đường trung trực của BD và AH cắt BD ở trung điểm.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AH là đường trung trực của BC và là phân giác của góc BAC. Như vậy, \(BH = HC\).

Vì AD = BC, ta có BD = AD + BC = AD + AD = 2AD. 

Như vậy, \(BD = 2AD\), tức là BD chia AH thành tỷ lệ 2:1. Do đó, A là trung điểm của BD, từ đó ta suy ra rằng AH là đường trung trực của BD.

Từ hai điều trên, ta kết luận được rằng A là trọng tâm của tam giác BCD.

b) Ta có \(AE = EC\) do E là trung điểm của AC, và \(BD = 2AD\) do AD = BC. 

Như vậy, theo nguyên lý cắt tỉ lệ, ta có: \(\frac{AF}{FC} = \frac{BD}{DC} = \frac{2AD}{AD} = 2\).

Tương tự, \(\frac{CK}{KB} = \frac{CD}{DB} = \frac{AD}{2AD} = \frac{1}{2}\).

Vậy, ta có \(AF = 2FC\) và \(CK = \frac{1}{2} KB\).

Nhưng ta cũng biết rằng AE = EC và BK = KD (vì E và D lần lượt là trung điểm của AC và BD).

Từ các điều trên, ta có thể suy ra rằng các cặp đường cao của hai tam giác AFD và CED là bằng nhau, và các cặp cạnh đối của chúng cũng bằng nhau. Do đó, ta có \( \triangle AFD \equiv \triangle CED \).

c) Ta có thể tính số đo góc AKD bằng cách sử dụng tỉ lệ giữa đoạn \(CK\) và đoạn \(KB\), vì \(BE\) là đường trung trực của \(CD\).

\( \frac{CK}{KB} = \frac{CD}{DB} \)

\( \frac{CK}{KB} = \frac{AD}{2AD} \)

\( \frac{CK}{KB} = \frac{1}{2} \)

Vậy, góc \(AKD\) là một góc vuông.

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔAKC vuông tại A có

CA chung

AB=AK

Do đó: ΔABC=ΔAKC

b: ΔABC=ΔAKC

=>\(\widehat{ACB}=\widehat{ACK}\)

Xét ΔCEI vuông tại E và ΔCFI vuông tại F có

CI chung

\(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\)

Do đó: ΔCEI=ΔCFI

=>CE=CF và IE=IF

Ta có: CE=CF

=>C nằm trên đường trung trực của EF(1)

ta có: IE=IF

=>I nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1),(2) suy ra CI là đường trung trực của EF

c: Xét ΔCKB có

BE,CA là các đường cao

BE cắt CA tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔCKB

=>KI\(\perp\)BC

mà IF\(\perp\)BC

nên K,I,F thẳng hàng

TK:

a) Ta có \(AB = AK\), và \(\angle B = \angle K\). Do đó, theo góc-góc-giống nhau, ta có \(\triangle ABC \equiv \triangle AKC\).

b) Vì \(BE \perp CK\) và \(IF \perp BC\), nên \(BE \parallel IF\). Từ đó, ta có:

\[
\angle BEI = \angle EFI \quad \text{(do cặp góc nội tiếp)}
\]

Tương tự, từ \(IF \parallel BE\) và \(CI \parallel EF\), ta cũng có:

\[
\angle IEF = \angle ECI
\]

Kết hợp hai kết quả trên, ta có \(\triangle FIC \equiv \triangle ECI\) (cùng có cặp góc bằng nhau).

Để chứng minh \(CI\) là đường trung trực của \(EF\), ta thấy \(CI\) là đoạn thẳng nối trung điểm của \(EF\) với \(C\), vì vậy \(CI\) chính là đường trung trực của \(EF\).

c) Để chứng minh rằng ba điểm \(K\), \(I\), \(F\) thẳng hàng, ta chỉ cần chứng minh rằng \(KIFC\) là hình chữ nhật. Vì \(KACB\) là hình vuông (với \(AB = AK\)), nên \(AC \parallel BK\), do đó \(BK \parallel AC\). Từ đó, ta có \(BK \perp CK\), từ góc phụ của tam giác \(KIF\) ta có \(\angle KFI = 90^\circ\), suy ra \(KIFC\) là hình chữ nhật.

Vậy, ta đã chứng minh ba điểm \(K\), \(I\), \(F\) thẳng hàng.

a: Xét ΔABC có AB>AC
mà \(\widehat{ACB};\widehat{ABC}\) lần lượt là góc đối diện của cạnh AB,AC

nên \(\widehat{ACB}>\widehat{ABC}\)

b: ΔACF cân tại A

mà AE là đường phân giác

nên AE là đường trung trực của CF

Bài 1:

a: \(\dfrac{5x^3-4x}{-2x}=-\dfrac{5x^3}{2x}+\dfrac{4x}{2x}=-\dfrac{5}{2}x^2+2\)

b: \(\dfrac{-2x^5-4x^3+3x^2}{2x^2}\)

\(=-\dfrac{2x^5}{2x^2}-\dfrac{4x^3}{2x^2}+\dfrac{3x^2}{2x^2}\)

\(=-x^3-2x+\dfrac{3}{2}\)

c: \(\dfrac{-5x^3+15x^2+18x}{-5x}\)

\(=\dfrac{5x^3}{5x}-\dfrac{15x^2}{5x}-\dfrac{18x}{5x}\)

\(=x^2-3x-\dfrac{18}{5}\)

d: \(\dfrac{-15x^6-24x^3}{-3x^2}\)

\(=\dfrac{15x^6}{3x^2}+\dfrac{24x^3}{3x^2}\)

\(=5x^4+8x\)

Bài 2:

a:

b:

c: Sửa đề:\(\left(x^3-4x^2-x+12\right):\left(x-3\right)\)

d:

mình cảm ơn ạ

Xem lại chỗ % giúp mình nha

Không có % đâu ạ,do mình bấm nhầm thôi ạ

a:

c: Bạn xem lại giúp mình chỗ % nha

Không có % đâu ạ,do mình bấm nhầm thôi ạ,mình cảm ơn ạ

\(F\left(5\right)-F\left(4\right)=2023\Leftrightarrow\left(25a+5b+c\right)-\left(16a+4b+c\right)=2023\)

\(\Leftrightarrow9a+b=2023\)

Khi đó:

\(F\left(9\right)-F\left(2\right)=\left(81a+9b+c\right)-\left(4a+2b+c\right)=77a+7b\)

\(=14a+7\left(9a+b\right)=14a+7.2023=7\left(2a+2023\right)⋮7\)

\(\Rightarrow F\left(9\right)-F\left(2\right)\) là hợp số

TK:

Để chứng minh rằng \(F(9) - F(2)\) là số hợp, ta sẽ sử dụng Định lí trung bình giá trị (Mean Value Theorem) cho đa thức.

Định lý trung bình giá trị nói rằng nếu \(f(x)\) là một hàm liên tục trên đoạn đóng \([a, b]\) và có đạo hàm trên đoạn mở \((a, b)\), thì tồn tại một điểm \(c\) trong \((a, b)\) sao cho \(f'(c)\) bằng trung bình cộng của \(f(b)\) và \(f(a)\):

\[
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]

Ứng dụng Định lí trung bình giá trị cho đa thức \(F(x)\) trên mỗi đoạn \([2, 9]\) và \([4, 5]\), ta có:

\[
F'(c_1) = \frac{F(9) - F(2)}{9 - 2}
\]
và
\[
F'(c_2) = \frac{F(5) - F(4)}{5 - 4}
\]

Do đó, ta có:
\[
F(9) - F(2) = F'(c_1) \cdot 7
\]
và
\[
F(5) - F(4) = F'(c_2) \cdot 1
\]

Từ giả thiết, ta có \(F(5) - F(4) = 2023\). Vì \(a\) là số nguyên dương, suy ra \(F'(c_2)\) cũng là số nguyên.

Vậy, \(F'(c_1) \cdot 7 = F(9) - F(2)\) cũng là một số nguyên, nhưng không thể là một số nguyên tố vì \(F'(c_2)\) là một số nguyên và \(7\) là một số nguyên khác \(1\). Do đó, \(F(9) - F(2)\) là một số hợp.

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AM\(\perp\)BC

b: Xét ΔABC có

AM,BQ là các đường trung tuyến

AM cắt BQ tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

c: M là trung điểm của BC

=>\(MB=MC=\dfrac{BC}{2}=9\left(cm\right)\)

ΔAMB vuông tại M

=>\(MA^2+MB^2=AB^2\)

=>\(MA=\sqrt{15^2-9^2}=12\left(cm\right)\)

G là trọng tâm của ΔABC

=>\(AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}\cdot12=8\left(cm\right)\)

d: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

D là trung điểm của AB

Do đó: C,G,D thẳng hàng