Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác AB’HC’ có ∠AB′H+∠AC′H=900+900=1800⇒∠AB′H+∠AC′H=900+900=1800⇒ Tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.

Ta có ∠ABD=900∠ABD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒AB⊥BD⇒AB⊥BD.

Mà CH⊥AB(gt)⇒BD∥CHCH⊥AB(gt)⇒BD∥CH

Chứng minh tương tự ta có CD∥BHCD∥BH.

⇒⇒ Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song)

Mà BC∩HD=I(gt)⇒IBC∩HD=I(gt)⇒I là trung điểm của BC.

c) Tính AHAA′+BHBB′+CHCC′AHAA′+BHBB′+CHCC′.

Ta có:

SHBCSABC=12HA′.BC12AA′.BC=HA′AA′⇒1−SHBCSABC=1−HA′AA′=AA′−HA′AA′=AHAA′SHBCSABC=12HA′.BC12AA′.BC=HA′AA′⇒1−SHBCSABC=1−HA′AA′=AA′−HA′AA′=AHAA′

Chứng minh tương tự ta có: BHBB′=1−SHACSABC;CHCC′=1−SHABSABCBHBB′=1−SHACSABC;CHCC′=1−SHABSABC

⇒AHAA′+BHBB′+CHCC′=1−SHBCSABC+1−SHACSABC+1−SHABSABC=3−SHBC+SHAC+SHABSABC=3−1=2⇒AHAA′+BHBB′+CHCC′=1−SHBCSABC+1−SHACSABC+1−SHABSABC=3−SHBC+SHAC+SHABSABC=3−1=2

Bài này giải theo cách lớp 9 thì thực sự bó tay. 
Đặt x = y - 2/3

\(x^3+2x^2-23x+8=0\) 

\(\left(y-\frac{2}{3}\right)^3+2\left(y-\frac{2}{3}\right)^2-23\left(y-\frac{2}{3}\right)+8=0\)

\(\Leftrightarrow y^3-2y^2+\frac{4}{3}y-\frac{8}{27}+2y^2-\frac{8}{3}y+\frac{8}{9}-23y+\frac{46}{3}+8=0\)

\(\Leftrightarrow y^3-\frac{73}{3}y+\frac{646}{27}=0\) (1)

Đặt \(a=\sqrt{-\frac{4}{3}.\frac{-73}{3}}=\frac{2\sqrt{73}}{3}\)

Đặt \(y=a.\cos t\)

 với \(0\le t\le\pi\)

Thay vào (1), ta có: 

\(a^3\cos^3t-\frac{73}{3}a\cos t=-\frac{646}{27}\)

\(\Leftrightarrow\frac{292}{9}.\frac{2\sqrt{73}}{3}\cos^3t-\frac{73}{3}.\frac{2\sqrt{73}}{3}\cos t=-\frac{646}{27}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{73}{3}.\frac{2\sqrt{73}}{3}\left(-\frac{4}{3}\cos^3t+\cos t\right)=-\frac{646}{27}\)

\(\Leftrightarrow146\sqrt{73}\left(4\cos^3t-3\cos t\right)=646\)

\(\Leftrightarrow146\sqrt{73}.\cos\left(3t\right)=646\)

\(\cos\left(3t\right)=\frac{323\sqrt{73}}{5329}\)

\(t=\frac{\pm arccos\left(\frac{323\sqrt{73}}{5329}\right)}{3}+\frac{2k\pi}{3}\left(k\in Z\right)\)

Vì \(0\le t\le\pi\)

\(\Rightarrow t=\frac{arccos\left(\frac{323\sqrt{73}}{5329}\right)}{3}\) hoặc \(t=\frac{arccos\left(\frac{323\sqrt{73}}{5329}\right)}{3}+\frac{2\pi}{3}\)hoặc \(t=\frac{-arccos\left(\frac{323\sqrt{73}}{5329}\right)}{3}+\frac{2\pi}{3}\)

\(x=y+\frac{2}{3}=-\frac{73}{3}\cos t+\frac{2}{3}\)

Vậy nghiệm của pt là 

\(\left\{-\frac{73}{3}\cos\frac{arccos\left(\frac{323\sqrt{73}}{5329}\right)}{3}+\frac{2}{3};-\frac{73}{3}\cos\left(\frac{arccos\left(\frac{323\sqrt{73}}{5329}\right)}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)+\frac{2}{3};-\frac{73}{3}\cos\left(\frac{-arccos\left(\frac{323\sqrt{73}}{5329}\right)}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)+\frac{2}{3}\right\}\)

Các góc đều ở chế độ radian (Hàm arccos trong casio là cos^-1)

***P/S: giải theo lớp 9 thì chịu

Nhầm: Đổi \(-\frac{73}{3}\) thành \(\frac{2\sqrt{73}}{3}\)mới đúng

áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(1=a+b+c+d\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)d}\)

\(\Rightarrow1\ge4\left(a+b+c\right)d\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge4\left(a+b+c\right)^2d\ge16\left(a+b\right)cd\)

\(A=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcd}\ge\frac{16\left(a+b\right)^2cd}{abcd}=\frac{16\left(a+b\right)^2}{ab}\ge64\)

Vậy GTNN của A là 64 khi \(=a=b=\frac{1}{8};c=\frac{1}{4};d=\frac{1}{2}\)

Mình xử lý phần dấu "="  của @Thanh Tùng DZ@

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a+b+c+d=1\\a+b+c=d\\a+b=c\end{cases}}\)và a=b

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8a=1\\d=4a\\c=2a\end{cases}}\)và a=b

\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{8};c=\frac{1}{4};d=\frac{1}{2}\)

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)=40\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+5\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)=40\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+5\right)\left(x^2+6x+8\right)=40\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+5\right)\left(x^2+6x+5+3\right)=40\)

\(\Leftrightarrow p\left(p+3\right)=40\) (khi đặt \(\left(x^2+6x+5\right)=p\)

\(\Leftrightarrow p^2+3p=40\)

\(\Leftrightarrow p^2\cdot2\cdot p\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{169}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(p+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{13}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p+\frac{3}{2}-\frac{13}{2}\right)\left(p+\frac{3}{2}+\frac{13}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-5\right)\left(p+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}p=5\\p=-8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+6x+5=5\\x^2+6x+5=-8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+6x=0\\x^2+2\cdot x\cdot3+9-9+5=-8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\left(x+6\right)=0\\\left(x+3\right)^2=-4\left(\text{vôlí}\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-6\end{cases}}\)

\(\left(x-2\right)\left(x^2+5x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x^2+5x-7=0\end{cases}}\)

Ta có: \(\Delta=25-4\cdot\left(-7\right)=25+28=53\)

\(\Rightarrow\Delta>0\)

\(\Rightarrow\text{pt có 2 nghiệm pb}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-5-\sqrt{53}}{2}\\x_2=\frac{-5+\sqrt{53}}{2}\end{cases}}\)

\(\text{Vậy pt trên có nghiệm là x=2; x=}\frac{-5\pm\sqrt{53}}{2}\)

Tui mứi học lớp 6 thui.......Xin lỗi...

Ta có BMIK nội tiếp

=> góc IMK = góc ABC

IMCH nội tiếp

=> góc IMH= góc ACB

Tam giác ABC cân tại A

=>góc ACB=góc ABC

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x \(\left(m;x>0\right)\)

       chiều rộng của hình chữ nhật là y \(\left(m;y>0\right)\)

Diện tích của hình chữ nhật là: \(x.y=1200\left(m^2\right)\left(1\right)\)

Nếu tăng chiều dài 5m, giảm chiều rộng 10m thì diện tích giảm 300m2. 

\(\left(x+5\right).\left(y-10\right)=xy-300\)

\(\Leftrightarrow xy-10x+5y-50=xy-300\)

\(\Leftrightarrow10x-5y=250\)

\(\Leftrightarrow2x-y=50\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}xy=1200\\2x-y=50\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\2x-\frac{1200}{x}=50\end{cases}}\)

                                                                                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\2x^2-1200=50x\end{cases}}\)

                                                                                          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\2x^2-50x-1200=0\end{cases}}\)

                                                                                          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\\left(x-40\right).\left(2x+30\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\x=40\left(TM\right),x=-15\left(L\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=30\left(TM\right)\\x=40\end{cases}}}\)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 40m

        chiều rộng của hình chữ nhật là 30m