cho a,b,c thỏa abc =1 và a+b+c=1/a+1/b+1/c chúng minh rằng : ( a-1)(b-1)(c-1)=0
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Ta có: \(BF=FC=\dfrac{BC}{2}\)
\(AE=ED=\dfrac{AD}{2}\)
mà BC=AD
nên BF=FC=AE=ED
Xét tứ giác BFDE có
BF//DE
BF=DE
Do đó: BFDE là hình bình hành
=>EB=DF(3)
b: Ta có: BFDE là hình bình hành
=>BD cắt FE tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của FE
nên O là trung điểm của BD
Ta có: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của BD
nên O là trung điểm của AC
=>AC,BD,EF đồng quy tại O
c: Xét ΔABD có
BE,AO là các đường trung tuyến
BE cắt AO tại I
Do đó: I là trọng tâm của ΔABD
=>\(BI=\dfrac{2}{3}BE\left(1\right)\)
Xét ΔDBC có
DF,CO là các đường trung tuyến
DF cắt CO tại K
Do đó: K là trọng tâm của ΔDBC
=>\(DK=\dfrac{2}{3}DF\left(2\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra BI=DK
Xét tứ giác BIDK có
BI//DK
BI=DK
Do đó: BIDK là hình bình hành
=>BK=DI
Xét ΔBCI có
F là trung điểm của CB
FK//BI
Do đó: K là trung điểm của CI
=>CK=KI
Xét ΔAKD có
E là trung điểm của AD
EI//KD
Do đó: I là trung điểm của AK
=>AI=IK
Do đó: AI=IK=KC
\(499^2+499+500\)
\(=499^2+499+\left(499+1\right)\)
\(=499^2+2.499+1\)
\(=\left(499+1\right)^2\)
\(=500^2\)
\(=2500\)
\(499^2+499+500\)
\(=\left(500-1\right)^2+\left(500-1\right)+500\)
\(=500^2-2.100+1+500-1+500\)
\(=500^2=2500\)
\(5y-7\) chia hết \(3-2y\)
\(\Rightarrow2\left(5y-7\right)⋮\left(3-2y\right)\)
\(\Rightarrow1-5\left(3-2y\right)⋮\left(3-2y\right)\)
\(\Rightarrow1⋮\left(3-2y\right)\)
\(\Rightarrow3-2y\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)
\(\Rightarrow y\in\left\{2;1\right\}\)
Do `y ∈ Z => {(5y - 7 ∈ Z),(3-2y ∈ Z):}`
Điều kiện: `3 - 2y ne 0 => 2y ne 3 => y ne 3/2 `
`5y - 7 vdots 3 - 2y`
`=> 10y - 14 vdots 3 - 2y`
Do `3 - 2y vdots 3 - 2y => 15 - 10y vdots 3 - 2y`
`=> 10y - 14 + 15 - 10y vdots 3 - 2y`
`=> 1 vdots 3 - 2y`
`=> 3 - 2y ∈ Ư(1) = {-1;1}`
`=> 2y ∈ {4;2}`
`=> y ∈ {2;1}` (Thỏa mãn)
Vậy `y ∈ {2;1}`
\(499^2+499+500\)
\(=499\cdot\left(499+1\right)+500\)
\(=500\cdot499+500=500\cdot500=250000\)
\(\widehat{C}=\widehat{B}+10^0=\widehat{A}+10^0+10^0=\widehat{A}+20^0\)
\(\widehat{D}=\widehat{C}+10^0=\widehat{A}+20^0+10^0=\widehat{A}+30^0\)
Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)
=>\(\widehat{A}+\widehat{A}+10^0+\widehat{A}+20^0+\widehat{A}+30^0=360^0\)
=>\(4\cdot\widehat{A}=300^0\)
=>\(\widehat{A}=75^0\)
\(\widehat{B}=75^0+10^0=85^0\)
\(\widehat{C}=75^0+20^0=95^0\)
\(\widehat{D}=75^0+30^0=105^0\)
a: Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)
=>\(\widehat{C}+\widehat{D}=360^0-110^0-70^0=180^0\)
=>\(\dfrac{1}{3}\cdot\widehat{D}+\widehat{D}=180^0\)
=>\(\dfrac{4}{3}\cdot\widehat{D}=180^0\)
=>\(\widehat{D}=135^0\)
\(\widehat{C}=\dfrac{1}{3}\cdot135^0=45^0\)
b:
Sửa đề: Cho tứ giác ABCD.
Đặt \(\widehat{B}=x;\widehat{C}=y;\widehat{D}=z\)
\(\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{3}=\dfrac{\widehat{D}}{4}\)
=>\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\)
Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)
=>\(x+y+z=360^0-90^0=270^0\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{x+y+z}{2+3+4}=\dfrac{270}{9}=30^0\)
=>\(x=2\cdot30^0=60^0;y=3\cdot30^0=90^0;z=4\cdot30^0=120^0\)
Vậy: \(\widehat{B}=x=60^0;\widehat{C}=y=90^0;\widehat{D}=z=120^0\)
a: Xét tứ giác AQHP có \(\widehat{AQH}=\widehat{APH}=\widehat{PAQ}=90^0\)
nên AQHP là hình chữ nhật
b: ΔCQH vuông tại Q
mà QK là đường trung tuyến
nên KQ=KH=KC
Xét ΔKQH có KQ=KH
nên ΔKQH cân tại K
Ta có: AQHP là hình chữ nhật
=>AH cắt QP tại trung điểm của mỗi đường và AH=PQ
=>O là trung điểm chung của AH và QP
=>OA=OH=OQ=OP
Ta có: OQ=OH
=>O nằm trên đường trung trực của QH(1)
Ta có: KQ=KH
=>K nằm trên đường trung trực của QH(2)
Từ (1),(2) suy ra OK là đường trung trực của QH
c: Ta có: OK là đường trung trực của QH
=>OK\(\perp\)QH
mà AC\(\perp\)QH
nên OK//AC
=>ACKO là hình thang
Để ACKO là hình thang cân thì \(\widehat{KCA}=\widehat{OAC}\)
=>\(\widehat{HAC}=\widehat{HCA}\)
=>ΔHAC cân tại H
mà ΔHAC vuông cân tại H
nên \(\widehat{ACH}=45^0\)
=>\(\widehat{ACB}=45^0\)
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow a+b+c+\left(abc-1\right)=ab+bc+ca\) (do \(abc-1=0\) nên có thể thêm bớt)
\(\Rightarrow abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)
\(\Rightarrow ab\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)+c-1=0\)
\(\Rightarrow\left(c-1\right)\left(ab-b-a+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(c-1\right)\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(c-1\right)\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\) (đpcm)