\(\frac{1-x^3}{x^2-1}=\frac{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{-x^2-x-1}{x+1}\)

Hoc tot 

a, \(P=\frac{2a^2}{a^2-1}+\frac{a}{a+1}-\frac{a}{a-1}\)

\(=\frac{2a^2}{a^2-1}+\frac{a\left(a-1\right)}{a^2-1}-\frac{a\left(a+1\right)}{a^2-1}\)

\(=\frac{2a^2+a^2-a-a^2-a}{a^2-1}=\frac{2a^2-2a}{a^2-1}\)

\(=\frac{2a\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}=\frac{2a}{a+1}\)

 bạn tìm giá trị nguyên của a để P đạt giá trị nguyên đi 

Ta có : (x³ + ax² + 5x + 3) : (x² + 2x + 3) = x + a - 2 dư (-2a + 6)x - (3a - 9) 

Để (x³ + ax² + 5x + 3) \(⋮\) (x² + 2x + 3)

=> (-2a + 6)x - (3a - 9) = 0\(\forall x\)

=> \(\hept{\begin{cases}-2a+6=0\\3a-9=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\a=3\end{cases}}\Rightarrow a=3\)

Vậy a = 3 thì (x³ + ax² + 5x + 3) \(⋮\) (x² + 2x + 3)

Đặt f(x) = x³ + ax² + 5x + 3

       g(x) = x² + 2x + 3

       h(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x)

Ta có : f(x) bậc 3, g(x) bậc 2 => h(x) bậc 1

=> h(x) có dạng x + b

Khi đó f(x) ⋮ g(x) <=> f(x) = g(x).h(x)

<=> x³ + ax² + 5x + 3 = ( x² + 2x + 3 )( x + b )

<=> x³ + ax² + 5x + 3 = x³ + bx² + 2x² + 2bx + 3x + 3b

<=> x³ + ax² + 5x + 3 = x³ + ( b + 2 )x² + ( 2b + 3 )x + 3b

Đồng nhất hệ số ta có : \(\hept{\begin{cases}a=b+2\\2b+3=5\\3b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=1\end{cases}}\)

Vậy a = 3