Cho 3 số thực a,b,c chứng minh rằng:
\(ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ac+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn ơi bạn có đáp án bài 2 chưa ạ ? Mình đang không biết giải bài 2
hiển nhiên \(a,b\ge c\) nên không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a\ge b\ge c\)
Ta co:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(ab\ge a+b-1\)
\(bc\ge0\)
\(c\left(a-b\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(ca\ge bc\ge c\)
\(\frac{9}{ab+bc+ca}-2\le\frac{9}{a+b-1+c}-2=\frac{5}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\\\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\end{cases}}\)
Hoành độ giao điểm của ( p) và (f) là nghiệm phương trình:
x^2 = (m-1) x + 2
<=> x^2 - ( m - 1) x - 2 = 0 (1)
Vì \(\frac{c}{a}=-2< 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
=> ( P) cắt (f) tại hai điểm M; N phân biệt với mọi m
g/s: M( a; (m-1) a + 2 ) ; N ( b; (m-1) b + 2 )
=> MN= \(\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2}\)
MN nhỏ nhất
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2\) nhỏ nhất
Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)^2\left(1+\left(m-1\right)^2\right)\)
= \(\left[\left(a+b\right)^2-4ab\right]\left(1+\left(m-1\right)^2\right)\)
= \(\left[\left(m-1\right)^2+8\right]\left(1+\left(m-1\right)^2\right)\)
\(\ge8.1=8\)
Dấu "=" xảy ra <=> m = 1
min MN = \(\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(m-1\right)^2\left(a-b\right)^2}\)= 2\(\sqrt{2}\)
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2
GTNN của x^2 + y^2 + z^2 là 12 tại x = y = z = 2
a) Gọi I là điểm chính giữa cung AB => IA = IB
Trên tia đối tia IB và tia MB lấy điểm Q và N sao cho: QI = IB và NM = MA
Ta có: \(\Delta\)AMN vuông cân tại M
=> ^ANB = ^ANM = 45 độ (1)
\(\Delta\)ABQ có AI = IB = IQ
=> \(\Delta\)ABQ vuông cân tại A
=> ^AQB = 45 độ (2)
Từ (1); (2) => ^AQB = ^ANB
=> ANQB nội tiếp
=> ^QNB = ^QAB = 90 độ
=> \(\Delta\)BNQ vuông cân tại N
=> \(MA+MB=MN+MB=NB\le BQ=IB+IQ=IB+IA\)không đổi
=> \(\frac{1}{MA}+\frac{1}{MB}\ge\frac{4}{MA+MB}\ge\frac{4}{IA+IB}\)
Dấu "=" xảy ra <=> MA = MB; MA + MB = IA + IB mà IA = IB => M trùng I hay M nằm giữa cung AB
a,b,c>0
\(VP-VT=a^3b+b^3c+c^3a-abc\left(a+b+c\right)=abc\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a}\ge0\)