0√5(√10+√2)8

6,91295063

bằng 6

mn ơi sai đề ạ \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko

Ta xét 3 trường hợp

TH1: x=2

Khi đó hệ tương đương với:

\(\hept{\begin{cases}0+2\left|y-1\right|=9\\2+\left|y-1\right|=-1\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left|y-1\right|=\frac{9}{2}\\\left|y-1\right|=-3\end{cases}}\)( Vô lý)

=> Vô nghiệm

TH2: x>2

Khi đó hệ tương đương với:

\(\hept{\begin{cases}x-2+2\left|y-1\right|=9\\x+\left|y-1\right|=-1\end{cases}}\)

Trừ 2 PT của hệ ta được

\(\left|y-1\right|-2=10\)

<=>\(\left|y-1\right|=12\)

=>\(\orbr{\begin{cases}y=13\\y=-11\end{cases}}\)và \(x=-13\)

TH3: x<2

Khi đó hệ tương đương với:

\(\hept{\begin{cases}2-x+2\left|y-1\right|=9\\x+\left|y-1\right|=-1\end{cases}}\)

Cộng 2 PT của hệ vế vs vế rồi tương tự TH2 ta tính đc:

\(\left(x;y\right)=\left(-3;3\right);\left(-3;-1\right)\)

Vậy...