Một người đi ô tô từ A đến B dài 240 km, trên nửa quãng đường đầu đi với vận tốc dự định, trên nửa quãng đường sau người đi với vận tốc bằng 3/2 vận tốc dự định. Tính vận tốc dự định, biết thời gian đi trên cả quãng đường là 5 giờ

Gọi vận tốc dự định là x ( km/h )(x>0)

=> Thời gian đi hết nửa quãng đường đầu là : \(\frac{120}{x}\)giờ

=> Thời gian đi hết nửa quãng đường sau là : \(\frac{120}{\frac{3}{2}x}=\frac{80}{x}\left(h\right)\)

Do tổng thời gian đi là 5h nên ta có phương trình :

\(\frac{120}{x}+\frac{80}{x}=5 \)

\(\Leftrightarrow\frac{200}{x}=5\)
\(\Leftrightarrow x=40\left(thỏamãn\right)\)
Vậy vận tốc dự định là 40km/h

\(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)

\(=\left(n^6-n^4\right)+\left(2n^3+2n^2\right)=n^4\left(n^2-1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(=n^4\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(=\left(n^5-n^4\right)\left(n+1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(=\left(n^5-n^4+2n^2\right)\left(n+1\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-n+1-n+1\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

Với mọi \(n\inℕ\)và \(n\ge1\), ta có:

\(n^2\left(n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)\right]^2\)luôn là số chính phương.

Mà \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\)luôn không là số chính phương ( vì n>1; \(n\inℕ\))

Do đó  \(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+1\right)\)không phải là số chính phương với mọi \(n>1,n\inℕ\)

\(\Rightarrow n^6-n^4+2n^3+2n^2\)không phải là số chính phương với mọi \(n>1,n\inℕ\)

Vậy nếu \(n\inℕ,n>1\)thì số có dạng \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)không phải là số chính phương

TÍNH CHẤT : Nếu tích của các số là một số chính phương thì mỗi số đều là một số chính phương.

a/ Xét \(\Delta ADC\) có \(\widehat{ADC}=90^o\Rightarrow\widehat{FAD}+\widehat{ACB}=90^o\Rightarrow\widehat{FAD}=90^o-\widehat{ACB}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FAD}=\widehat{ACB}=45^o\)

Xét tg vuông AFD và tg vuông ADC có \(\widehat{FAD}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta AFD\) đồng dạng với \(\Delta ADC\)

b/ Xét tg vuoogn ADB có

\(AD^2=AE.AB\) (Trong tg vuông bình phương của 1 cạnh góc vuông bằng tích của hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

c/ Ta có E và F đều nhìn AD dưới 1 góc \(90^o\) => Tứ giác AEDF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD

\(\Rightarrow\widehat{FAD}=\widehat{FED}=\frac{1}{2}sd\) cung DF(góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{FAD}=\widehat{FED}=45^0\)

Ta có \(\widehat{FEA}=\widehat{AED}-\widehat{FED}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FEA}=\widehat{FED}=45^o\) => EF là phân giác \(\widehat{AED}\left(dpcm\right)\)

\(x^3-19x-30\)

\(\Leftrightarrow x^3-5x^2+5x^2-25x+6x-30\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-5x^2\right)+(5x^2-25x)+\left(6x-30\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-5\right)+5x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

\(=x^3+5x^2+6x-5x^2-25x-30\)

\(=x\left(x^2+5x+6\right)-5\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=\left(x-5\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=\left(x-5\right)\left(x^2+2x+3x+6\right)\)

\(=\left(x-5\right)\left(x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)\right)\)

\(=\left(x-5\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

a) \(7x-xy-3y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(7x-xy\right)+\left(21-3y\right)-21=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(7-y\right)+3\left(7-y\right)=21\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(7-y\right)=21\)

Vì x,y là các số dương nên \(\left(x+3\right)\)và \(\left(7-y\right)\)là các ước số dương của 21 

Do đó \(\left(x+3\right)\left(7-y\right)=1.21=3.7=7.3=21.1\)

Ta có bảng sau

Vì x, y >0 \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(4;4\right),\left(18;6\right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(4;4\right),\left(18;6\right)\)

A B C D E F H I K Q R

a) Xét \(\Delta EAB\)và \(\Delta FAC\)có :

\(\widehat{BEA}=\widehat{CFA}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{A}\)chung

\(\Rightarrow\Delta EAB\approx\Delta FAC\)(g.g)

\(\Rightarrow\frac{EA}{FA}=\frac{BA}{CA}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)\(\Rightarrow\frac{EA}{BA}=\frac{FA}{CA}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta AEF\)và \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{A}\)chung.

\(\frac{EA}{BA}=\frac{FA}{CA}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta AEF\approx\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)(điều phải chứng minh)