a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )

tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)

\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)

\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)

hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

a. | x² - x + 2 | - 3x - 7 = 0

<=> | x² - x + 2 | = 3x + 7

Vì | x² - x + 2 |\(\ge\)0 => x\(\ge\)- 7/3

Bình phương 2 vế : ( x² - x + 2 )² = ( 3x + 7 )²

<=> ( x² - x + 2 )² - ( 3x + 7 )² = 0

<=> ( x² - x + 2 - 3x - 7 ) ( x² - x + 2 + 3x + 7 ) = 0

<=> ( x² - 4x - 5 ) ( x² + 2x + 9 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2-4x-5=0\\x^2+2x+9=0\left(loai\right)\end{cases}}\)vì x² + 2x + 9 > 0

<=> ( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0

<=> x = 5 hoặc x = - 1

Vậy pt có S = { -1 ; 5 }

\(n^2-n+13=m^2\)

\(\Leftrightarrow4n^2-4n+52=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2+51=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2n+1\right)\left(2m+2n-1\right)=51=1.51=3.17\)

Xét bảng: 

thầy sai đâu đấy 

\(\left(2n-1\right)^2+51=4m^2\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2-4m^2=-51\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1-2m\right)\left(2n-1+2n\right)=-51\)

vì \(2n-1+2m>2n-1-2m\)

\(\left(2n-1-2m\right)\left(2n-1+2n\right)=1.\left(-51\right)=\left(-51\right).1=3.\left(-17\right)=\left(-17\right).3\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1-2m=-51\\2n-1+2m=1\end{cases}}\)chứ ạ ? 

rồi xét TH còn lại, mong thầy giải đáp giúp, có gì sai thầy cho em xin lỗi 

Đặt \(d=\left(9n+2,12n+3\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}9n+2⋮d\\12n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(9n+2\right)⋮d\\3\left(12n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(12n+3\right)-4\left(9n+2\right)=1⋮d\)

Suy ra \(d=1\), do đó ta có đpcm.

Đặt d=(9n+2,12n+3)d=(9n+2,12n+3).

Suy ra \hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d\hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept{4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d

Suy ra d=1d=1, do đó ta có đpcm.

\(A=\left(2^n-1\right)\left(2^n+1\right)\)

\(=\left(2^n-1\right)\left(2+1\right)\left(2^n-2^{n-1}+2^{n-2}-...-2+1\right)\)

\(=\left(2^n-1\right)3\left(2^n-2^{n-1}+2^{n-2}-...-2+1\right)⋮3\forall n\in N\)

Vậy \(A⋮3\forall n\in N\)

( x - 2 )( x + 2 )( x² - 10 ) = 72

<=> ( x² - 4 )( x² - 10 ) - 72 = 0

Đặt t = x² - 4

pt <=> t( t - 6 ) - 72 = 0

<=> t² - 6t - 72 = 0

<=> t² - 12t + 6t - 72 = 0

<=> t( t - 12 ) + 6( t - 12 ) = 0

<=> ( t - 12 )( t + 6 ) = 0

<=> ( x² - 4 - 12 )( x² - 4 + 6 ) = 0

<=> ( x² - 16 )( x² + 2 ) = 0

<=> ( x - 4 )( x + 4 )( x² + 2 ) = 0

Vì x² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x

=> x - 4 = 0 hoặc x + 4 = 0

<=> x = 4 hoặc x = -4

Vậy ...

(x - 2)(x + 2)(x² - 10) = 72

<=> (x² - 4)(x² - 10) = 72

Đặt x² - 7 = y

<=> (x² - 7 + 3)(x² - 7 - 3) = 72

<=> (y + 3)(y - 3) = 72

<=> y² - 9 = 72

<=> y² = 81

<=> y = \(\pm\)9

+) Với y = 9 thì x² - 7 = y <=> x² - 7 = 9 <=> x² = 16 <=> x = \(\pm\)4

+) Với y = -9 thì x² - 7 = y <=> x² - 7 = -9 <=> x² = -2

Vì x² \(\ge\)0 mà -2 < 0 nên không tìm được x

Vậy x = \(\pm\)4

\(\left(x-3\right)^3=\left(2x+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x-3=2x+1\)

\(\Leftrightarrow-x=4\)

\(\Leftrightarrow x=-4\)

Gọi số công nhân ở phân xưởng 1 là $x$, khi đó số công nhân ở phân xưởng 2 là $220-x$.

Số công nhân sau khi chuyển ở phân xưởng 1 và 2 lần lượt là $x-10$ và $230-x$

Lại có 2/3 số công nhân phân xưởng 1 bằng 4/5 số công nhân phân xưởng 2 nên ta có

$\frac{2}{3}(x-10)=\frac{4}{5}(230-x)$

$<->10(x-10)=12(230-x)$

$<->22x=2860$

$<->x=130$

Vậy số công nhân ở phân xưởng 1 là 130, số công nhân ở phân xưởng 2 là 90.