Gọi tử số của phân số đã cho là x \(\left(x\inℤ,x\ne-2\right)\)

Khi đó ,mẫu số của phân số đó là \(x+2\)

Vì nếu giảm cả tử và mẫu đi 4 đơn vị thì được phân số mới bằng \(\frac{1}{3}\)

nên ta có PT :

\(\frac{x-4}{x+2-4}=\frac{1}{3}\)\(\left(x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-4}{x-2}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x-4\right)}{3\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{3\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(x-4\right)=x-2\)

\(\Leftrightarrow3x-12=x-2\)

\(\Leftrightarrow2x=10\)

\(\Leftrightarrow x=5\)(Thỏa mãn)

\(\Rightarrow x+2=7\)

Vậy phân số đã cho là \(\frac{5}{7}\)

=> pt: \(\frac{x-4}{x-2}=\frac{1}{3}\)

                        Giải

Gọi tử số ban đầu của phân số đã cho là: x ( \(x\in Z;x\ne\pm2\) )

=> Mẫu số ban đầu là x + 2

     Tử số mới là: x - 4

     Mẫu số mới là: x + 2 - 4 = x - 2

Vì phân số mới bằng 1/3 nên ta có phương trình:

\(\frac{x-4}{x-2}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-4\right)=x-2\)

\(\Leftrightarrow3x-12=x-2\)

\(\Leftrightarrow3x-x=-2+12\)

\(\Leftrightarrow2x=10\)

\(\Leftrightarrow x=5\)\(\left(tm\right)\)

=> Mẫu số ban đầu là: x + 2 = 5 + 2 = 7

Vậy phân số ban đầu là: \(\frac{5}{7}\)

\(x^4-4x^3+8x-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3-3x^3+3x^2-3x^2+3x+5x-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-1\right)-3x^2\left(x-1\right)-3x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-3x^2-3x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-x^2-2x^2+2x-5x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x^2\left(x-1\right)-2x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2-2x-5=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2-2x+1=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\left(x-1\right)^2=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x-1=\pm\sqrt{6}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\orbr{\begin{cases}x-1=\sqrt{6}\\x-1=-\sqrt{6}\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\pm\sqrt{6}+1\end{cases}}\)

Vậy...

x⁴ - 4x³ + 8x - 5 = 0

<=> x⁴ - x³ - 3x³ + 3x² - 3x² + 3x + 5x - 5 = 0

<=> x³( x - 1 ) - 3x²( x - 1 ) - 3x( x - 1 ) + 5( x - 1 ) = 0

<=> ( x - 1 )( x³ - 3x² - 3x + 5 ) = 0

<=> ( x - 1 )( x³ - x² - 2x² + 2x - 5x + 5 ) = 0

<=> ( x - 1 )[ x²( x - 1 ) - 2x( x - 1 ) - 5( x - 1 ) ] = 0

<=> ( x - 1 )²( x² - 2x - 5 ) = 0

<=> x - 1 = 0 hoặc x² - 2x - 5 = 0

+) x - 1 = 0 <=> x = 1

+) x² - 2x - 5 = 0

<=> ( x² - 2x + 1 ) - 6 = 0

<=> ( x - 1 )² - ( √6 )² = 0

<=> ( x - 1 - √6 )( x - 1 + √6 ) = 0

<=> x = 1 + √6 hoặc x = 1 - √6

Vậy S = { 1 ; 1 ± √6 }

\(\left(x^3-x^2\right)-4x^2+8x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2-4x^2+8x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-5x^2+8x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2-4x^2+4x+4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-4x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\\left(x-2\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

Vậy ...

\(\left(x^3-x^2\right)-4x^2+8x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2-4x^2+8x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2-4x^2+4x+4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2\right)-\left(4x^2+4x\right)+\left(4x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-4x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}}\)

9a² + b² + c² - 18a + 2c - 6b + 19 = 0

<=> (9a² - 18a + 9) + (b² - 6b + 9)  + (c² + 2c + 1) = 0

<=> (3a - 3)² + (b - 3)² + (c + 1)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}3a-3=0\\b-3=0\\c+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=3\\c=-1\end{cases}}\)

Vậy a = 1 ; b = 3 ; c = -1 là nghiệm phương trình

\(9a^2+b^2+c^2-18a+2c-6b+19=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9a^2-18a+9\right)+\left(b^2-6b+9\right)+\left(c^2+2c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-3\right)^2+\left(b-3\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(3a-3\right)^2\\\left(b-3\right)^2\\\left(c+1\right)^2\end{cases}\ge0\forall a,b,c}\)

\(\Rightarrow\left(3a-3\right)^2+\left(b-3\right)^2+\left(c+1\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}3a-3=0\\b-3=0\\c+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=3\\c=-1\end{cases}}}\)

Vậy...

Tổng của chiều dài và chiều rộng là : 

            100 : 2 = 50 (m)

Trung bình cộng của chiều dài và rộng là :

           50 : 2 = 25 (m) 

Vì chiều dà hơn chiều rộng 3m nên chiều dài trừ đi chiều rộng thì bằng 3m

Chiều dài là :

          (50+3):2=26,5(m)

Chiều rộng là :

          26,5-3=23,5 (m)

                 Đáp số : 23,5 m

đáp số là 23,5m

AM - GM cho 4 số ta được : 

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)( đpcm )

\(a^4+b^4+c^4+d^4\)

\(=\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\)

\(=\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]+\left[\left(c^2\right)^2+\left(d^2\right)^2\right]\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

\(=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2.2abcd\ge4abcd\)

Dấu"=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

Nguồn:hoidap247

Ta có:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{a^2}{b+c}+b+\frac{b^2}{c+a}+c+\frac{c^2}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=a+b+c-a-b-c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\left(đpcm\right)\)

Trước khi nhân thêm a+b+c thì phải chứng minh nó khác 0

\(\left(\frac{2+a}{2-a}-\frac{4a^2}{a^2-4}+\frac{a-2}{a+2}\right)\div\frac{a-3}{2a-a^2}\)(ĐK: \(a\ne0,a\ne\pm2,a\ne3\))

\(=\frac{\left(2+a\right)\left(2+a\right)+4a^2+\left(a-2\right)\left(2-a\right)}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}\div\frac{a-3}{a\left(2-a\right)}\)

\(=\frac{4+4a+a^2+4a^2-\left(a^2-4a+4\right)}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}.\frac{a\left(2-a\right)}{a-3}\)

\(=\frac{4a^2+8a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}.\frac{a\left(2-a\right)}{a-3}\)

\(=\frac{4a^2}{a-3}\)

\(\left(\frac{2+a}{2-a}-\frac{4a^2}{a^2-4}+\frac{a-2}{a+2}\right)\div\frac{a-3}{2a-a^2}\)

\(=\left(\frac{2+a}{2-a}+\frac{4a^2}{4-a^2}+\frac{a-2}{2+a}\right)\div\frac{a-3}{2a-a^2}\)

\(=\left(\frac{\left(2+a\right)^2}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}+\frac{4a^2}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}+\frac{\left(a-2\right)\left(2-a\right)}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}\right)\div\frac{a-3}{2a-a^2}\)

\(=\left(\frac{4+4a+a^2+4a^2-a^2+4a-4}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}\right)\div\frac{a-3}{2a-a^2}\)

\(=\frac{4a^2+8a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}\div\frac{a-3}{2a-a^2}\)

\(=\frac{4a\left(a+2\right)}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}\div\frac{a-3}{2a-a^2}\)

\(=\frac{4a}{2-a}.\frac{2a-a^2}{a-3}=\frac{4a\left(2a-a^2\right)}{\left(2-a\right)\left(a-3\right)}=\frac{4a^2\left(2-a\right)}{\left(2-a\right)\left(a-3\right)}=\frac{4a^2}{a-3}\)