Bài 2 :

b) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2\) (1)

ĐKXĐ : \(x\ge1\)

Pt(1) tương đương :

\(\sqrt{\left(x-1\right)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=2\) (*)

Xét \(x\ge2\Rightarrow\sqrt{x-1}-1\ge0\)

\(\Rightarrow\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{x-1}-1\)

Khi đó pt (*) trở thành :

\(\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow x-1=1\)

\(\Leftrightarrow x=2\) ( Thỏa mãn )

Xét \(1\le x< 2\) thì \(x\ge2\Rightarrow\sqrt{x-1}-1< 0\)

Nên : \(\left|\sqrt{x-1}-1\right|=1-\sqrt{x-1}\). Khi đó pt (*) trở thành :

\(\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow2=2\) ( Luôn đúng )

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{x|1\le x\le2\right\}\)

Bài 1 : 

a) ĐKXĐ : \(-1\le a\le1\)

Ta có : \(Q=\left(\frac{3}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{1-a}\right):\left(\frac{3}{\sqrt{1-a^2}}\right)\)

\(=\left(\frac{3+\sqrt{1-a}.\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}}\right)\cdot\frac{\sqrt{1-a^2}}{3}\)

\(=\frac{3+\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{\sqrt{1+a}}\cdot\frac{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{3}\)

\(=\frac{\left(3+\sqrt{1-a^2}\right).\sqrt{1-a}}{3}\)

Vậy \(Q=\frac{\left(3+\sqrt{1-a^2}\right).\sqrt{1-a}}{3}\) với \(-1\le a\le1\)

b) Với \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn ĐKXĐ \(-1\le a\le1\)nên ta có :

\(\hept{\begin{cases}1-a=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2^2}\\1-a^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{1-a}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2^2}}=\left|\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right|=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\\\sqrt{1-a^2}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Do đó : \(Q=\frac{\left(3+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{3}=\frac{5\sqrt{3}-5}{12}\)

a)

Ta có:\(\left|P\right|>P\Leftrightarrow P< 0\) tức là \(\sqrt{x}-2< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\Leftrightarrow x< 4\) 

b)

\(\left|P\right|=P\Leftrightarrow P\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}-2>0\Leftrightarrow x>4\)

Ta luôn có 1 tính chất rất quan trọng sau:     \(|P|\ge P\forall P\inℝ\)        (*)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(P\ge0\)

** Mà để    \(|P|>P\Rightarrow P< 0\)      (KO CÓ DẤU "=" XẢY RA)

=>    \(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}< 0\)

Mà do     \(x>0\Rightarrow3\sqrt{x}>0\)

=>   \(\sqrt{x}-2< 0\)

=>     \(0< x< 4\)     VÀ        \(x\ne1\)   (ĐKXĐ)

** ĐỂ      \(|P|=P\)

=> DẤU "=" CỦA BĐT (*) PHẢI XẢY RA

<=>    \(P\ge0\)      DO:    \(x>0\Rightarrow P>0\Rightarrow\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}>0\)

MÀ:     \(\sqrt{x}>0\Rightarrow\sqrt{x}-2>0\Rightarrow x>4\)

Vậy x > 4 thì     \(|P|=P\)

\(A=\left(x^3+y^3+xy\left(x+y\right)\right)-xy\left(x+y\right)+xy\)

=>    \(A=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-xy.1+xy\)

=>   \(A=x^2+y^2-xy+xy\)

=>    \(A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y\). MÀ    \(x+y=1\)

=> A min \(=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\).

\(B=x^2-2x+1+x^2-6x+9\)

=>   \(B=2x^2-8x+10\)

=>   \(B=2\left(x^2-4x+4\right)+2\)

=>   \(B=2\left(x-2\right)^2+2\)

CÓ:    \(2\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow2\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

=>   \(B\ge2\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(2\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=2\)

VẬY B MIN = 2 <=>    \(x=2\)

Mình nghĩ đề là tìm min chứ?

Ta có: \(\Delta=m^2+2m+49=\left(m+1\right)^2+48>0\left(\forall m\right)\) (*)

Từ (*) ta thấy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên ta có thể giả sử:

\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-\left(m-7\right)+\sqrt{m^2+2m+49}}{8}\\x_2=\frac{-\left(m-7\right)-\sqrt{m^2+2m+49}}{8}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow F=\left|x_1-x_2\right|=\left|\frac{1}{4}\sqrt{m^2+2m+49}\right|=\frac{1}{4}\sqrt{\left(m+1\right)^2+48}\ge\frac{1}{4}\cdot\sqrt{48}=\sqrt{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi m=-1

Vậy \(m=-1\)  thì F đạt giá trị nhỏ nhất tại \(\sqrt{3}\)

Mình nghĩ nên bổ sung x nguyên

\(A=\frac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-5}{\sqrt{x}+1}=3-\frac{5}{\sqrt{x}+1}\)

Để A nguyên thì \(\frac{5}{\sqrt{x}+1}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;5\right\}\Leftrightarrow x=0\)

Thay x = 0 vào thì ta có A âm vậy ............

ta chứng minh A>=2 (1) thật vậy

\(A\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)

\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz\ge xyz\)

từ giả thiết => \(0\le x;y;z\le2\)do đó \(2xy+2yz+2zx\ge2xy\ge xyz\)

vậy (1) được chứng minh. dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(2;0;0) và các hoán vị

\(P=\frac{9}{1-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{xyz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)

\(=\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{6\sqrt[3]{xyz}}{xyz}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{18}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)

\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{36}{2\left(xy+yx+xz\right)}\ge9\left(\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2^2}{2\left(xy+yz=xz\right)}\right)\)

\(\ge\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2=81}\)

Dấu = xảy ra khi x =  y = z = 1/3

Xét: \(x^4+y^4-xy\left(x^2+y^2\right)=\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)(*)

Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}y^4+z^4\ge yz\left(y^2+z^2\right)\\z^4+x^4\ge zx\left(z^2+x^2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2\right)+z.xyz}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\)

Ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\) và \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2=1\\2x^3+6xy^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2y^2=1-2x^2\left(1\right)\\2x^3+6xy^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Dễ thấy \(y=0\) không là nghiệm nên thế (1) và (2) ta có : \(2x^3+3.x.\left(1-2x^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4x^3-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

+) Với \(x=-1\) thì ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(-1\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(-1+y\right)^3+\left(-1-y\right)^3=1\end{cases}}\) ( Vô nghiệm )

+) Với \(x=\frac{1}{2}\) thì ta có : \(\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=\pm\frac{1}{2}\). Thỏa mãn hệ phương trình.

Vậy hệ pt có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left\{\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}\)