1.a)

\(2\sqrt{3}=\sqrt{12}>\sqrt{9}=3.\)

\(3\sqrt{2}=\sqrt{18}>\sqrt{16}=4.\)

Suy ra VT > 7

1.b)

\(\sqrt{16}+\sqrt{25}=4+5=9\)

2.a)

\(\sqrt{21-6\sqrt{6}}=\sqrt{\left(3\sqrt{2}\right)^2-6\sqrt{6}+3}=3\sqrt{2}-\sqrt{3}\)

b)\(\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{18-4\sqrt{14}}{2}}=\frac{\sqrt{14}-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{7}-1\)

Các câu còn lại bạn làm tương tự nhé!

c) \(\sqrt{4-\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{8-2\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{7}-1\right)}{2}\)

d) \(\sqrt{4+2\sqrt{3}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}}\)

\(=\sqrt{4+2\sqrt{3}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{4+2\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}=\sqrt{5+\sqrt{3}}\)

\(\Delta\)ABC vuông tại A có AB<AC. 

A B C M H

Kẻ đường cao AH ; Vì AB < AC => BH < HC=> H thuộc BM 

Ta có: \(\sin\alpha=\frac{AB}{BC};\cos\alpha=\frac{AC}{BC};\sin\beta=\frac{AH}{AM}\)

=> \(\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}+\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{2AB.AC}{BC^2}\)

Mà theo hệ thức lượng: \(AB^2=BC.BH;AC^2=CB.CH\)

=> \(\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=\frac{2BH.CH}{AB.AC}=\frac{2AH^2}{AB.AC}\)

Ta cần chứng minh: \(\frac{2AH^2}{AB.AC}=\frac{AH}{AM}\Leftrightarrow2AH.AM=AB.AC\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\)đúng 

Vậy \(1+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{AH}{AM}\)

=> Có điều cần phải cm

Ta có: \(23-2\sqrt{19}< 23-2\sqrt{16}=23-2.4=15\)

\(3\sqrt{27}>3\sqrt{25}=3.5=15\)

=> \(23-2\sqrt{19}< 15< 3\sqrt{27}\)

=> \(23-2\sqrt{19}< 3\sqrt{27}\)

ĐKXĐ: \(x\ge1\); x khác 2; 3

Ta có: 

\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{x-\left(x-1\right)}=\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\)

\(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{x-1-2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}-\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}=\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)=\sqrt{x}-\sqrt{2}\)

\(\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x}-x}=\frac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{2}-\sqrt{x}\right)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{2}-\sqrt{x}\right)}\)

=> \(P=\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right).\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{2}-\sqrt{x}\right)}=\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

Bài làm:

Ta có: \(\left(x^2+2\right)=\left(2x+1\right)\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)^2=\left(2x+1\right)^2x\)

\(\Leftrightarrow x^4+4x^2+4=\left(4x^2+4x+1\right)x\)

\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+4-x=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-4\right)-\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^3-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)

Mà \(x^2+x+1>0\left(\forall x\right)\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-4=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=4\end{cases}}\)

Cho mk bổ sung cái đk là: \(x\ge0\) nhé:)

A B C D H 4 1

Làm theo cách lớp 8:

Từ A kẻ AH _|_ BC (H nằm trên BC)

Mà tam giác ABC cân tại A => AH đồng thời là trung tuyến => BH = HC = 1cm

Xét tam giác AHB vuông tại H

=> AH² = AB² - BH² = 4² - 1² = 15cm

=> \(AH=\sqrt{15}cm\)

ΔAHC ~ ΔBDC (g.g) vì:

+ Góc C chung

+ \(\widehat{AHC}=\widehat{BDC}=90^0\)

=> \(\frac{AH}{AC}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow BD=\frac{AH.BC}{AC}=\frac{2\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{2}cm\)

Vậy \(BD=\frac{\sqrt{15}}{2}cm\)

Theo giả thiết ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow xz+yz=xy\)

\(\Leftrightarrow xy-xz-yz=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy-xz-yz=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\left|x+y-z\right|\)

Mà x, y, z là các số hữu tỉ nên \(\left|x+y-z\right|\)là số hữu tỉ

Vậy \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)là số hữu tỉ (đpcm)