Dịch thôi chứ ko bt làm:Diện tích tam giác ABC là 300. Trong tam giác ABC, Q là trung điểm BC, P là một điểm trên AC nằm giữa C và A sao cho CP = 3PA. R là một điểm trên cạnh AB sao cho diện tích của \(\Delta\)PQR gấp đôi diện tích của \(\Delta\)RBQ. Tìm diện tích của\(\Delta\) PQR

Theo giả thiết \(a^2+b^2+c^2+d^2=1\Rightarrow0< a,b,c,d< 1\)

Ta có: \(2\left(1-a\right)\left(1-b\right)=2-2\left(a+b\right)+2ab=a^2+b^2+c^2+d^2+1\)\(-2a-2b+2ab-2cd+2cd=\left(a+b-1\right)^2+\left(c-d\right)^2+2cd\ge2cd\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge cd\)(*)

Tương tự ta có: \(\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge ab\)(**)

Nhân theo từng vế cùng chiều của hai BĐT (*) và (**), ta được: \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge abcd\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)

Bài làm:

Ta có: \(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow1=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)

Xét BĐT phụ sau: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\) ; \(b^2+c^2\ge2bc\) ; \(c^2+a^2\ge2ca\) (Cauchy)

=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Thay vào (1) ta được:

\(1=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cái này gần như là hiển nhiên

Theo bất đẳng thức quen thuộc: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(a+b+c=1\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài làm:

Δ ABC vuông tại A?

Ta có: \(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}\) <=> \(\frac{AC}{3}=\frac{BC}{5}=k\) \(\left(k\inℕ^∗\right)\)

=> \(AB^2=BC^2-CA^2=25k^2-9k^2=16k^2\)

=> \(AB=4k\)

Từ đây ta có thể dễ dàng tính được:

\(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}\) ; \(\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}\) ; \(\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}\)

\(sin^2b+cos^2b=1\)      

\(\left(\frac{3}{5}\right)^2+cos^2b=1\)        

\(\frac{9}{25}+cos^2b=1\)     

\(cos^2b=\frac{16}{25}\)                      

\(cosb=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac{4}{5}\)       

\(tanb=\frac{sinb}{cosb}=\orbr{\begin{cases}\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\\\frac{\frac{3}{5}}{\frac{-4}{5}}=\frac{-3}{4}\end{cases}}\)     

\(cotb=\frac{1}{tanb}=\orbr{\begin{cases}\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\\\frac{1}{\frac{-3}{4}}=\frac{-4}{3}\end{cases}}\)

\(m\left(10-mx\right)+4x=20\)

\(\left(4-m^2\right)x+10m=20\)

\(\left(4-m^2\right)x+10m-20=0\)

\(\left(m+2\right)x-10=0\)

\(m+2=0\)

\(m=-2\)

\(x=0\)

Hok tốt !!!!!!!!!