a: Xét ΔSAB có M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB

=>MN là đường trung bình của ΔSAB

=>MN//AB

mà AB//CD
nên MN//CD

b: Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mp(SBD), gọi K là giao điểm của DN và SO

Chọn mp(SAC) có chứa SC

\(K=DN\cap SO\)

=>\(K\in\left(DAN\right)\cap\left(SAC\right)\)

=>\(\left(DAN\right)\cap\left(SAC\right)=AK\)

Gọi P là giao điểm của AK với SC

=>P là giao điểm của SC với (DAN)

a)
 \(x+\dfrac{5}{6}=7,5\\ \Rightarrow x+\dfrac{5}{6}=\dfrac{15}{2}\\ \Rightarrow x=\dfrac{15}{2}-\dfrac{5}{6}\\ \Rightarrow x=\dfrac{20}{3}\)
Vậy...

b) 
\(x.\dfrac{3}{5}-1\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}\\ \Rightarrow x.\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{6}\\ \Rightarrow x.\dfrac{3}{5}=\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow x.\dfrac{3}{5}=\dfrac{7}{3}\\ \Rightarrow x=\dfrac{7}{3}:\dfrac{3}{5}\\ \Rightarrow x=\dfrac{35}{9}\)
Vậy...

c) Đề bài thiếu (\(x:\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}=?\))

d)
 \(12,5-x=6,75\\ \Rightarrow\dfrac{25}{2}-x=\dfrac{27}{4}\\ \Rightarrow x=\dfrac{25}{2}-\dfrac{27}{4}\\ \Rightarrow x=\dfrac{23}{4}\)
Vậy...

Gọi thời gian để hai xe gặp nhau là `t` (giờ)

Điều kiện: ` t > 0`

- Nếu xe thứ nhất cách xe thứ hai 6km ở phía trước thì hai xe không bao giờ gặp nhau vì `20 km/h > 12 km/h`

- Nếu xe thứ nhất cách xe thứ hai 6km ở phía sau thì: 

Quãng đường mà xe thứ nhất đi đến thời điểm gặp nhau là:

`20` x `t (km)`

Quãng đường mà xe thứ hai đi đến thời điểm gặp nhau là:

`12` x `t (km)`

Mà xe thứ nhất các xe thứ hai `6km` từ lúc xuất phát nên: 

`20` x `t - 12` x `t = 6`

`=> (20 - 12)` x `t =6`

`=> 8` x `t = 6 `

`=> t = 6 : 8`

`=> t =` \(\dfrac{3}{4}\)  (Thỏa mãn)

Vậy sau \(\dfrac{3}{4}\) giờ kể từ khi 2 xe xuất phát thì chúng gặp nhau nếu xe một xuất phát cách xe hai `6km` ở phía sau

Cách tiểu học: (Vẫn xét xe thứ nhất xuất phát ở sau xe thứ 2 nhé)

Hiệu vận tốc 2 xe là: 

`20 - 12 = 8 (km`/`h)`

Do xe thứ nhất xuất phát cách xe thứ hai `6km` ở phía sau nên hiệu quãng đường của chúng cho đến khi gặp nhau là `6km`

Thời gian để 2 xe gặp nhau là: 

`6 : 8 =` \(\dfrac{3}{4}\) (giờ)

Đáp số: \(\dfrac{3}{4}\) giờ

a/

Ta có

\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{AN}{AD}\left(gt\right)\) => AM//MN//CD (Talet đảo) => MN//(SAB)

\(\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{SP}{SD}\left(gt\right)\) => PN//SA (Talet đảo) => PN//(SAB)

=> (MNP)//(SAB) (Một mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và cùng // với 1 mặt phẳng cho trước thì 2 mặt phẳng đó // với nhau)

Trong mp (SCD) từ P dựng đường thẳng // CD cắt SC tại Q

=> PQ//MN (cùng song song với CD

Mà \(P\in\left(MNP\right)\Rightarrow PQ\in\left(MNP\right)\Rightarrow Q\in\left(MNP\right)\)

đồng thời \(Q\in SC\)

=> Q là giao của SC với (MNP)

b/

Thiết diện của S.ABCD với (MNP) là tứ giác MNPQ

c/

Ta có

\(NP\left(SAD\right);K\in NP\Rightarrow K\in\left(SAD\right)\)

\(MQ\in\left(SBC\right);K\in MQ\Rightarrow K\in\left(SBC\right)\)

\(S\in\left(SAD\right);S\in\left(SBC\right)\)

=> SK là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Ta có AD//BC (cạnh đối hình vuông)=> AD//(SBC) và \(AD\in\left(SAD\right)\)

=> AD//SK(Một mp chứa 1 đường thẳng // với 1 mặt phẳng cho trước và 2 mặt phẳng cắt nhau thì đường thẳng đó // với giao tuyến)

Vậy khi M di động trên BC thì K thuộc nửa đường thẳng SK//AD

d/

ta có

SB là giao tuyến của (SAB) với (SBC)

MQ là giao tuyến của (MNP) với (SBC)

(MNP)//(SAB) (cmt)

=> SB//MQ (Hai mp song song với nhau bị cắt bởi mp thứ 3 thì 2 giao tuyến tạo thành song song với nhau)

`a` là số tự nhiên không chia hết cho `3` nên a có dạng: 

`a = 3k + 1` hoặc `a = 3k + 2`

(`k` thuộc `N`*)

Mà a là số tự nhiên lẻ `=> a^2` là số tự nhiên lẻ `=> a^2 - 1` là số chẵn 

`=> a^2 ⋮ 2`

Để `a^2 - 1 ⋮ 6` thì  `a^2 - 1 ⋮ 3` (Vì `UCLN(2;3) = 1`)

- Xét `a = 3k + 1`

`=> a^2 -1 = (3k+1)^2 -1= 9k^2 + 6k + 1 - 1= 9k^2 + 6k^2 ⋮ 3` (Thỏa mãn)

- Xét `a = 3k + 2`

`=> a^2 -1 = (3k+2)^2 -1 = 9k^2 + 12k + 4 - 1= 9k^2 + 12k^2 + 3 ⋮ 3` (Thỏa mãn)

Vậy ...

\(\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+...+\dfrac{19}{9^2.10^2}\)

= \(\dfrac{3}{1.4.}+\dfrac{5}{4.9}+...+\dfrac{19}{81.100}\)

= \(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{100}\)

= \(1-\dfrac{1}{100}< 1\) (đpcm)

--------------------------------

Cho các số: a;b;c thuộc `N`; `c,b` khác `0` ta luôn có:

Nếu: `c-b = a` thì: 

\(\dfrac{a}{b.c}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\)