Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH: AB.AC=AH.BC

Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HF : AF.AC=AH²

Xét tam giác AHB vuông tại H, đường cao HE: AE.AB=AH² 

Nhân các đẳng thức trên vế theo vế : AE.AF.AB.AC=AH⁴ => 2S_AEF.AH.BC=AH⁴ => S_AEF=x³/4a

Vậy S_AEF lớn nhất khi x lớn nhất, khi đó đường cao của tam giác vuông là lớn nhất --> trùng với trung tuyến --> x=a

Nửa chu vi khu vườn là :

112 : 2 = 56 ( m )

Gọi chiều dài khu vườn là a  ( m ) ( 0 < a < 56 ) 

=> chiều rộng khu vườn là : 56 - a ( m )

Chiều dài và chiều rông sau khi tăng và giảm lầm lượt là :

\(\hept{\begin{cases}3a\\4\left(56-a\right)\end{cases}}\)

Theo bài ra , ta có phương trình :

\(2\left[3a+4\left(56-a\right)\right]=382\)

\(\Leftrightarrow3a+224-4a=191\)

\(\Leftrightarrow-a=-33\)

\(\Leftrightarrow a=33\left(TM\right)\)

=> Chiều rộng mảnh vườn là : 56 - 33 = 23 ( m )

Vậy ..............

@iloveyouthcsnhandao : lớp 9 thì nên ưu tiên hệ phương trình ạ xD

Gọi chiều dài khu vườn là x

       chiều rộng khu vườn là y ( x,y thuộc N* ; x, y < 112 )

Theo đề bài ta có : 2( x + y ) = 112 (m)

                         <=> x + y = 56 (m) (1)

Tăng chiều rộng lên 4 lần, chiều dài lên 3 lần 

=> Chiều dài mới = 3x ; chiều rộng mới = 4y

Khi đó 2( 3x + 4y ) = 382

     <=> 3x + 4y = 191 (m)  (2)

Từ (1) và (2) => Ta có hệ phương trình 

\(\hept{\begin{cases}x+y=56\\3x+4y=191\end{cases}}\)

Nhân 3 vào từng vế của (1)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+3y=168\left(3\right)\\3x+4y=191\end{cases}}\)

Lấy (3) trừ (2) theo vế

=> -y = -23 <=> y = 23 (tmđk)

Thế y = 23 vào (1)

=> x + 23 = 56 => x = 33 (tmđk)

Vậy chiều dài khu vườn là 33m

       chiều rộng khu vườn là 23m

Bài 1 : 

a, \(\frac{2ab}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{2ab\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2ab\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}\)

b, \(\frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}=\frac{\left(2\sqrt{10}-5\right)\left(4+\sqrt{10}\right)}{\left(4-\sqrt{10}\right)\left(4+\sqrt{10}\right)}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

c, \(\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}=\frac{\left(9-2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{6}-2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

2. \(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}+\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}-\frac{2.\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{7-5}-\frac{3}{\sqrt{2-2\sqrt{10}+5}}+\frac{4}{\sqrt{3+2\sqrt{21}+7}}\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\frac{2\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{2}-\frac{3}{\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)^2}}+\frac{4}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)^2}}\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)-\frac{3}{\left|\sqrt{2}-\sqrt{5}\right|}+\frac{4}{\left|\sqrt{3}+\sqrt{7}\right|}\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)-\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)-\frac{3.\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{5-2}+\frac{4.\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)}{7-3}\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3}+\frac{4\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)}{4}\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)-\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{3}=0\)

Bài 2 : Sửa đề phần a;b 

a,\(\frac{\sqrt{45}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{13+2\sqrt{10}}{3}\)

b, \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)=2\)

c, \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)-2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{4}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

B1:

a) \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{7+4\sqrt{3}}{4-3}=7+4\sqrt{3}\)

b) \(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}\)

c) \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}\)

d) \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2-1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{4+2\sqrt{6}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\left(2-\sqrt{6}\right)}{2\left(4-6\right)}=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

e) \(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{3}+2}=\frac{1}{2}\)

Bài này là giải phương trình nghiệm nguyên nhé !

Ta có : \(y^2=x^2.\left(y+2\right)+1\)

\(\Leftrightarrow x^2.\left(y+2\right)=y^2-1\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{y^2-1}{y+2}=\frac{y^2-4+3}{y+2}=y-2+\frac{3}{y+2}\)

Do \(x^2\) nguyên nên \(3⋮y+2\)

\(\Leftrightarrow y+2\in\left\{-1,1,-3,3\right\}\)

\(\Leftrightarrow y\in\left\{-3,-1,-5,1\right\}\)

\(\Rightarrow\) Bạn tự tính giá trị của x nhé !

BH/CH=(BH.BC)/(CH.BC)

áp dụng hệ thưcs lượng trong tam giác vuông

BH.BC= AB^2

CH.BC=AC^2

Suy ra BH/CH=AB^2/AC^2

hello bạn

a) Ta có góc OAM = góc OHM = 90⁰

suy ra OAMH là tứ giác nội tiếp

b) CM tương tự ta cũng có tứ giác OHEB nội tiếp

góc OMA = góc OHA ( cùng chắn cung OA)(1)

góc OHA = góc OEB ( cùng chắn cung OB)(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc OMA  = gocs OEB

Suy ra: tam giác OMA = tam giác OEB (gcg)

nên OM = OE

tam giác OME cân có OH là đường cao đồng thời là trung tuyến

=> HM= HE

Đặt \(A=\sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}\)

<=> \(A^2=\left(\sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}\right)^2\)

<=> \(A^2=6,5+\sqrt{12}+2\sqrt{\left(6,5+\sqrt{12}\right)\left(6,5-\sqrt{12}\right)}+6,5-\sqrt{12}\)

<=> \(A^2=13+2\sqrt{42,25-12}\)

<=> \(A^2=13+2\sqrt{\frac{121}{4}}\)

<=> \(A^2=13+2\cdot\frac{11}{2}=13+11=24\)

=> \(A=2\sqrt{6}\)

Vậy \(\sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}+2\sqrt{6}=4\sqrt{6}\)

a) Ta có: đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm A (2:1) 

=> 2a+b=1 (1)

   Lại có: đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5

=> b=5 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 2a+5=1 

                          => a= -2

b) Gía trị của m để (P) và (d) có 1 điểm chung duy nhất là 

       3x² =2x+m

     => 3x²-2x-m

    \(\Delta'=1+3m\) 

       => m= -1/3

Tọa độ điểm chung là:

   3x²=2x-1/3

  => 3x²-2x+1/3

  => x=1/3

 thay x=1/3 vào vào parabol (P) ta đc: y= 3(1/3)²

                                                       y=1/3

 => Tọa độ ddiemr chung là (1/3; 1/3)

Đặt BC=a; AC=b; AB=c

Từ M dựng các đường vuông góc với BC; AC; AB cắt lần lượt tại D;E;F

Đặt MD=x; ME=y; MF=z

\(S_{ABC}=S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}=\frac{ax+by+cz}{2}\) áp dụng bđt cosi

\(\frac{ax+by+cz}{3}\ge\sqrt[3]{ax.by.cx}\Rightarrow\frac{ax+by+cz}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}\ge\frac{3.\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{xyz}}{2}\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\frac{2.S_{ABC}}{3.\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}\) xyz lơn nhất khi \(xyz=\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}=const\)

Dấu = xảy ra khi ax=by=cz \(\Rightarrow S_{MBC}=S_{MAC}=S_{MAB}\)

Nối AM cắt BC tại K, Từ B và C dựng đường vuông góc với AK cắt AK lần lượt tại P và Q

Xét tg MAB và tg MAC có chung đáy AM và S(MAB)=S(MAC) => hai đường cao tương ứng BP=CQ

Xét tg vuông BKP và tg vuông CKQ có 

^PBK = ^QCK (góc so le trong)

BP=CQ (cmt)

=> tg BKP = tg CKQ (hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BK=CK => AM là trung tuyến của tg ABC

C/m tương tự ta cũng có BM, CM là trung tuyến của tg ABC

=> M là trọng tâm của tg ABC