Lời giải:

$A=\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2^2.2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$B=\frac{a+2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{\sqrt{a}+2}=\sqrt{a}$

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(14x^2-4x+6).16=[(x-2)^2+x^2+12x^2+2][1+1+12+1]\geq [(2-x)+x+12x+2]^2=(12x+4)^2$

$\Rightarrow 14x^2-4x+6\geq (3x+1)^2$

$\Rightarrow \sqrt{14x^2-4x+6}\geq |3x+1|$

$\Rightarrow A\geq |3x+1|+|3x-4|+2019$
Mà:

$|3x+1|+|3x-4|=|3x+1|+|4-3x|\geq |3x+1+4-3x|=5$

$\Rightarrow A\geq 5+2019=2024$
Vậy $A_{\min}=2024$

Giá trị này xảy ra khi $x=1$

a: Xét tứ giác MAOH có \(\widehat{MAO}+\widehat{MHO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOH là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAMB vuông tại A và ΔAON vuông tại A có

\(\widehat{AMB}=\widehat{AON}\left(=90^0-\widehat{ANO}\right)\)

Do đó: ΔAMB~ΔAON

=>\(\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{AB}{AN}\)

=>\(AM\cdot AN=AO\cdot AB\)

a) \(x^2-20x+2m+16=0\)

Thay m = -1 vào phương trình trên, ta được:

\(x^2-20x+2\cdot\left(-1\right)+16=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-20x+14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-20x+100\right)-100+14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-10\right)^2=86\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-10=\sqrt{86}\\x-10=-\sqrt{86}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10+\sqrt{86}\\x=10-\sqrt{86}\end{matrix}\right.\)

b) \(\Delta=\left(-20\right)^2-4\left(2m+16\right)=336-8m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta>0\Leftrightarrow m< 42\)

\(\Rightarrow S=\left\{1;2;3;...;41\right\}\)

Số phần tử của tập S là: \(\left(41-1\right):1+1=41\) (phần tử)

Tổng tất cả các phần tử của tập S là: \(\left(41+1\right)\cdot41:2=861\)

a) \(x^2-\left(m+2\right)x+2m=0\) (1)

Thay m = -1 vào (1), ta được:

\(x^2-\left(-1+2\right)x+2\cdot\left(-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

b) \(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot2m=\left(m-2\right)^2\ge0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có hai nghiệm

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=2\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2\cdot2m=2\cdot2m\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4-8m=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m=2\)

$\text{#}Toru$

Cho mình bổ sung dòng thứ hai phần b thành:

"\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có hai nghiệm với mọi m" nhé!

a) \(x^2-4x+m+1=0\) (1)

Thay m=3 vào phương trình (1), ta được:

\(x^2-4x+3+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

b) \(\Delta=16-4\left(m+1\right)=12-4m\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\Leftrightarrow m< 3\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(x_1^2+x_2^2=3\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Rightarrow4^2-2\left(m+1\right)=3\cdot4\)

\(\Leftrightarrow-2m-2=-4\)

\(\Leftrightarrow-2m=-2\)

\(\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn điều kiện)

$\text{#}Toru$

Đường kính của bánh xe đạp đó là:

\(32,5\cdot2=65\left(cm\right)\)

Chu vi bánh xe đó là:

\(65\cdot\pi\approx204,2\left(cm\right)\)

Độ dài quãng đường AB (hay độ dài quãng đường sau khi bánh xe quay được 600 vòng) là:

\(204,2\cdot600=122520\left(cm\right)=1225,2\left(m\right)\approx1225\left(m\right)\)

\(\rightarrow\) Chọn B. 1225m

a) \(x^2+2x+m-1=0\) (1)

Thay m = 1 vào phương trình (1), ta được:

\(x^2+2x+1-1=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...

b) \(\Delta=4-4\left(m-1\right)=8-4m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta>0\Leftrightarrow m< 2\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^3+x_2^3-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-6x_1x_2=4m-4m^2\)

\(\Rightarrow\left(-2\right)^3-3\left(m-1\right)\cdot\left(-2\right)-6\left(m-1\right)=4m-4m^2\)

\(\Leftrightarrow-8+6m-6-6m+6=4m-4m^2\)

\(\Leftrightarrow-8=4m-4m^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(loại\right)\\m=-1\left(chọn\right)\end{matrix}\right.\)

$\text{#}Toru$