\(\frac{11}{4-\sqrt{5}}+\frac{4}{3-\sqrt{5}}-\frac{19}{\sqrt{21+4\sqrt{5}}}=\frac{11\left(4+\sqrt{5}\right)}{16-5}+\frac{4\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}-\frac{19}{\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+2.2\sqrt{5}+1}}\)

\(=4+\sqrt{5}+3+\sqrt{5}-\frac{19}{\sqrt{\left(2\sqrt{5}+1\right)^2}}=7+2\sqrt{5}-\frac{19}{2\sqrt{5}+1}\)

\(=7+2\sqrt{5}-\frac{19\left(2\sqrt{5}-1\right)}{20-1}=7+2\sqrt{5}-\left(2\sqrt{5}-1\right)=8\)

\(\sqrt{6-3\sqrt{3}}-\sqrt{6+3\sqrt{3}}+\frac{4-\sqrt{12}}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\frac{12-6\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{\frac{12+6\sqrt{3}}{2}}+\frac{4-2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+3}{2}}-\sqrt{\frac{9+6\sqrt{3}+3}{2}}+\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{\left(3+\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{2}}+2\)

\(=\frac{3-\sqrt{3}-3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+2\)

\(=\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+2=-\sqrt{2}.\sqrt{3}+2=2-\sqrt{6}\)

\(x=\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\)

\(\Rightarrow x^3=4+\sqrt{15}-\left(4-\sqrt{15}\right)-3\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}.\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3=2\sqrt{15}-3\sqrt[3]{4^2-\left(\sqrt{15}\right)^2}.x\)

\(\Leftrightarrow x^3=2\sqrt{15}-3x\Leftrightarrow x^3+3x=2\sqrt{15}\)

Đặt \(A=\sqrt[3]{22\sqrt{2}+25}-\sqrt[3]{22\sqrt{2}-25}\)

\(\Rightarrow A^3=22\sqrt{2}+25-\left(22\sqrt{2}-25\right)-3\sqrt[3]{\left(22\sqrt{2}+25\right)\left(22\sqrt{2}-25\right)}.\)

\(\left(\sqrt[3]{22\sqrt{2}+25}-\sqrt[3]{22\sqrt{2}-25}\right)\)

\(=50-3\sqrt[3]{\left(22\sqrt{2}\right)^2-25^2}.A\)

\(\Rightarrow A^3=50-3A\sqrt[3]{343}\Leftrightarrow A^3=50-21A\)

\(\Leftrightarrow A^3+21A-50=0\Leftrightarrow A^3-4A+25A-50=0\)

\(\Leftrightarrow A\left(A^2-4\right)+25\left(A-2\right)=0\Leftrightarrow\left(A-2\right)\left(A+2\right)A+25\left(A-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-2\right)\left(A^2+2A+25\right)=0\)

Vì \(A^2+2A+25=\left(A+1\right)^2+24>0,\forall A\Rightarrow A-2=0\Leftrightarrow A=2\)

\(x^4-x^2+2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-x+1=0\left(1\right)\\x^2+x-1=0\left(2\right)\end{cases}}\) 
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)( vô lý vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0;\forall x\))

+) \(pt\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

Vậy nghiệm của phương trình \(x\in\left\{\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\right\}\)

x⁴ - x² + 2x - 1 = 0

<=> x⁴ - ( x² - 2x + 1 ) = 0

<=> ( x² )² - ( x - 1 )² = 0

<=> [ x² - ( x - 1 ) ][ x² + ( x - 1 ) ] = 0

<=> ( x² - x + 1 )( x² + x - 1 ) = 0

+) x² - x + 1 = ( x² - x + 1/4 ) + 3/4 ≥ 3/4 ∀ x

+) x² + x - 1 = 0

<=> ( x² + x + 1/4 ) - 5/4 = 0

<=> \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=0\)

<=> \(\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=0\)

<=> \(\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}=0\\x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

\(x^4-x^2+2x-1=0\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2-\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-x+1=0\left(VN\right)\\x^2+x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}}\)

Vẽ đường kính BK của đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC=> O trung điểm BK

Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ O xuống dây BC => OM là khoảng cách từ O tới BC

Có OB=OC và B,C nằm trên đường tròn tâm O=> tam giác OBC cân tại O, đường cao OM=> M trung điểm BC

=> OM là đường trung bình tam giác BCK=> \(OM=\frac{1}{2}CK\)

C thuộc đường tròn đường kính BK=> tam giác BCK vuông tại K=> \(KC\perp BC\)

Mà \(AH\perp BC\Rightarrow AH//CK\)

A thuộc đường tròn đường kính BK=> tam giác BAK vuông tại A=> \(AK\perp AB\)

Mà \(CH\perp AB\Rightarrow CH//AK\)

=> AHCK là hình bình hành => \(AH=CK\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH\)

\(ĐKXĐ:x\ge-1\)

Ta có : \(\sqrt{x+1}=32x^3+48x^2+18x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}-1=32x^3+48x^2+18x\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)-1^2}{\sqrt{x+1}+1}=2x.\left(16x^2+24x+9\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-2x\left(4x+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x.\left[\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-2.\left(4x+3\right)^2\right]=0\) (*)

Với mọi \(x\inĐKXD\) thì \(2.\left(4x+3\right)^2>\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\) nên từ (*) suy ra :

\(x=0\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=0\)