Ta có  \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\a,b,c>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\a,b,c\ge1\end{cases}}}\)

Vì \(a,b,c\ge1\)

\(\Rightarrow a+b+c\le a^2+b^2+c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}\left(1\right)\)

Tương tự 

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{b^2+c^2+a}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{c^2+b^2+a}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}+\frac{1}{b^2+c^2+a}+\frac{1}{c^2+a^2+b}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{3}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}+\frac{1}{b^2+c^2+a}+\frac{1}{c^2+a^2+b}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)

Vậy Max S₁ = 3/3 = 1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\) (4)

Vì \(a,b,c\ge1\)

\(\Rightarrow a+b+c\le a^2+b+c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b+c}\left(5\right)\)

Tương tự 

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{b^2+c+a}\left(6\right)\)

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{c^2+b+a}\left(7\right)\)

Từ \(\left(5\right);\left(6\right);\left(7\right)\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\)

\(\frac{3}{3}\ge\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)

Vậy Max S₂ = 3/3 = 1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\) (8)

Từ (4); (8) => GTLN S₁ = GTLN S₂  (đpcm)

Câu 1: 

Đặt phương trình là (1)

ĐK: \(3x-16y-24\ge0\)

\(3x-16y-24=\sqrt{9x^2+16x+32}\Leftrightarrow\left(3x-16y-24\right)^2=9x^2+16x+32\)

\(\Leftrightarrow9\left(3x-16y-24\right)^2=9\left(9x^2+16x+32\right)\)\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=81x^2+144x+288\)

Với x, y nguyên thì (3y+5) là ước của (-7) và chia cho 3 dư 2

=> (3y+5)=-1 hoặc (3y+5)=-7

+ TH1: \(\left(3y+5\right)=-1\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=-1\)

+ TH2: \(\left(3y+5\right)=-7\Leftrightarrow y=-4\Rightarrow x=-7\)

Vậy các cặp nghiệm nguyên của (x;y) là: (-1;-2); (-7;-4)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=\left(9x+8\right)^2+224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2-\left(9x+8\right)^2=224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72+9x-8\right)\left(9x-48y-72-9x-8\right)=224\)

\(\Leftrightarrow\left(18x-48y-64\right)\left(-48y-80\right)=224\)

\(\Leftrightarrow-32\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=-7\)

giả sử a là nghiệm chung của 2 phương trình

\(x^2+\text{ax}+bc=0\left(1\right)\) và \(x^2+bx+ca=0\left(2\right)\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a\alpha+bc=0\\a^2+b\alpha+ca=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\alpha\left(a-b\right)+c\left(b-a\right)=0\Rightarrow\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\Rightarrow\alpha=c\ne0\)

Thay \(\alpha=c\)vào (1) ta có: \(c^2+ac+bc=0\Rightarrow c\left(a+b+c\right)=0\Rightarrow a+b+c=0\)

Mặt khác, theo định lý Viet phương trình(1)  còn có nghiệm nữa là b, phương trình(2) còn có nghiệm nữa là a. Theo định lý Viet đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình \(x^2-\left(a+b\right)x+ab=0\Leftrightarrow x^2+cx+ab=0\left(\text{đ}pcm\right)\)

Sử dụng bđt Svacxo ta có : \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)

Ta có bđt phụ sau : \(x^2\ge8\left(x-2\right)\)biến đổi tương đương \(\left(x-4\right)^2\ge0\)*đúng*

Khi đó : \(\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)< =>\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)Hay \(P\ge8\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)

Vậy GTNN của P = 8 đạt được khi a = b = 2

Áp dụng bđt ngược chiều là ra

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{2ab+a^2+b^2}+\frac{1}{2\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

hmm... nếu mà xét dấu bằng thì tại a=b=1/2

Theo BĐT tam giác có :

\(a+b>c\)

\(\rightarrow\left(a+b\right)^3>c^3\)

\(\rightarrow a^3+b^3+3ab.\left(a+b\right)>c^3\)

\(\rightarrow a^3+b^3+3ab.c>c^3\)