Áp dụng bđt ngược chiều là ra

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{2ab+a^2+b^2}+\frac{1}{2\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

hmm... nếu mà xét dấu bằng thì tại a=b=1/2

Theo BĐT tam giác có :

\(a+b>c\)

\(\rightarrow\left(a+b\right)^3>c^3\)

\(\rightarrow a^3+b^3+3ab.\left(a+b\right)>c^3\)

\(\rightarrow a^3+b^3+3ab.c>c^3\)

A D M E C N B P

a) Ta có: ID vuông góc AM với D là trung điểm AM => ID là đường trung trực AM => IA = IM (1)

IE vuông góc AN với E là trung điểm AN => IE là đường trung trực AN => IA = IN (2)

Từ (1) và (2) => IA = IM = IN

=> I là tâm đường tròn qua 3 điểm A; M; N

b. Lấy điểm P đối xứng với điểm A qua BC => P cố định

=> BC là đường trung trực của PA mà I thuộc BC 

=> IP = IA 

=>( I) qua điểm P cố định khác A

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=y\ge1\) pt trở thành \(\left(4x-1\right)y=2y^2-2x\)

\(4xy-y=2y^2-2x\Leftrightarrow2y^2-2x-4xy+y=0\)\(\Leftrightarrow y\left(2y+1\right)-2x\left(2y+1\right)=0\Leftrightarrow\left(2y+1\right)\left(y-2x\right)=0\Leftrightarrow y=2x\)(vì y=-1/2(loại))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=2x\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(B=n^5+n^4+1=n^5-n^2+n^4-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n+1\right)\)

+) Với \(n=0\Rightarrow B=1\)không là số nguyên tố (loại)

+) Với \(n=1\Rightarrow B=3\)là số nguyên tố(thỏa mãn)

+) Với \(n\ge2\left(n\in N\right)\Rightarrow n^3-n+1\ge n^2+n+1\ge7\)

Do đó B là hợp số

 Vậy n=1 là giá trị cần tìm.

 Ta có:\(n^5+n^4+1=n^5+n^4+n^3-n^3+1\)

\(=n^3\left(n^2+n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n-1\right)\)

Đk để là số nguyên tố thì:

\(n^2+n+1=1\)hoặc \(n^3-n-1=1\)

Xét \(n^2+n+1=1\Rightarrow n^2+n=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\right)\\n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Xét \(n^3-n+1=1\Rightarrow n^3-n=0\Rightarrow n\left(n^2-1\right)=0\)

                                                                \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\left(tm\right)\\\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\Rightarrow\right)\\n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\left(tm\right)\\n=1\left(tm\right);n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Tại \(n=0\Rightarrow A=1\left(ktm\right)\)Vì 1 không phải số ngto

Tại\(n=1\Rightarrow A=3\left(tm\right)\)vì 3 là số ngto

Vậy ...