Ta có 1. 1 + 2 . 2 + 3 . 3 + 4 . 4 + ... + 100 . 100

= 1 + 2( 1 + 1 ) + 3( 2 + 1 ) + 4( 3 + 1 ) + ... + 100( 99 + 1 )

= 1 + 2 . 1 + 2 . 1 + 3 . 2 + 1 . 3 + 4 . 3 + 4 . 1 + ... + 100 . 99 + 100 . 1

= ( 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + 99 . 100 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 )

Đặt A = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + 99 . 100 

3A = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + ... + 99 . 100 . 3

     = 1 . 2 . 3 + 2 . 3( 4 - 

3A = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + ... + 99 . 100 . 3

= 1 . 2 . 3 + 2 . 3( 4 - 1 ) + 3 . 4( 5 - 2 ) + ... + 99 . 100( 101 - 98 )

= 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 - 1 . 2 .3 + 3. 4 . 5 + 2 . 3. 4 + ... + 99 . 100 . 101 - 98 . 99 . 100

= 99 . 100 . 101

A = 333300

Lại có B = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100

= ( 100 + 1 ) . 100 : 2 = 5050

Vậy 1. 1 + 2 . 2 + 3 . 3 + 4 . 4 + ... + 100 . 100 = 333300 + 5050 = 338350

a, Ngày thứ nhất Nam đọc được:

20% x 200 = 40 (trang sách)

Ngày thứ hai Nam đọc được:

40: 2/5 = 100 (trang sách)

Ngày thứ ba Nam đọc được:

200 - (40+100)=60 (trang sách)

b, Tỉ số trang sách Nam đọc được trong ngày thứ 2 và ngày thứ 3 là:

100/60= 5/3

c, Tỉ số phần trăm giữa số trang sách Nam đọc được trong ngày thứ 2 và ngày thứ 3 là:

5/3 x 100%\(\approx\) 166,7%

Ta có A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰

2A = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²¹

2A - A = ( 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²¹ ) - (  2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰ )

⇒ A + 4 = 2²¹ - 2² + 4 = 2²¹ - 4 + 4 = ( 2⁴ )⁵ . 2 = ( ...6 )⁵ . 2 = ( ...6 ) . 2 = ( ...2 )

Vì không có số chính phương nào có tận cùng là chữ số 2 nên A + 4 không phải là số chính phương

Lời giải:

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{100^2}$

$< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}$

$=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{100-99}{99.100}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$=1-\frac{1}{100}< 1$ 

Ta có điều phải chứng minh

đúng

☺

Áp dụng tính chất : Nếu \(\dfrac{a}{b}< 1\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+n}{b+n}\) ( a; b; n ϵ N , b; n ≠ 0 )

Ta có \(\dfrac{2023^{31}+5}{2023^{32}+5}< 1\)

⇒ \(B=\dfrac{2023^{31}+5}{2023^{32}+5}< \dfrac{2023^{31}+5+2018}{2023^{32}+5+2018}=\dfrac{2023^{31}+2023}{2023^{32}+2023}=\dfrac{2023\left(2023^{30}+1\right)}{2023\left(2023^{31}+1\right)}=\dfrac{2023^{30}+1}{2023^{31}+1}=A\)Vậy A > B

Ta có 2023A = \(\dfrac{2023.\left(2023^{30}+5\right)}{2023^{31}+5}=\dfrac{2023^{31}+5.2023}{2023^{31}+5}\)

\(=1+\dfrac{2022.5}{2023^{31}+5}\)

Lại có 2023B = \(\dfrac{2023.\left(2023^{31}+5\right)}{2023^{32}+5}=\dfrac{2023^{32}+2023.5}{2023^{32}+5}\)

\(=1+\dfrac{2022.5}{2023^{32}+5}\)

Dễ thấy 2023³¹ + 5 < 2023³² + 5

\(\Leftrightarrow\dfrac{2022.5}{2023^{31}+5}>\dfrac{2022.5}{2023^{32}+5}\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{2022.5}{2023^{31}+5}>1+\dfrac{2022.5}{2023^{32}>5}\)

\(\Leftrightarrow2023A>2023B\Leftrightarrow A>B\)

a/Số học sinh giỏi lớp 6A:
\(40\times25:100=10\)(học sinh)
Số học sinh trung bình lớp 6A:
\(10:\dfrac{5}{2}=4\)(học sinh)
Số học sinh khá lớp 6A:
\(40-10-4=26\)(học sinh)
b/Tỉ số phần trăm giữa số học sinh khá và số học sinh cả lớp:
\(26:40=0,65=65\%\)

Trường hợp xấu nhất ta sẽ bốc phải : 

30 viên màu xanh + 22 viên màu vàng + 15 viên màu tím = 67 viên

vậy cần lấy ít nhất số viên bi để chắc chắn có đủ 4 màu 

67 + 1 = 68 ( viên )

Kết luận: vậy cần lấy ít nhất 68 viên bi 

68 viên bi