ĐKXĐ: \(-1\le x,y\le1\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}=\sqrt{2}\left(3\right)\\\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}=\sqrt{6}\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}1-x+1-y+2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=2\\1+x+1+y+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}=6\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}2\sqrt{1-x-y+xy}=x+y\left(1\right)\\2\sqrt{xy+x+y+1}=4-x-y\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế:

\(2\sqrt{xy-x-y+1}+2\sqrt{xy+x+y+1}=4\)

<=>\(\sqrt{xy-x-y+1}+\sqrt{xy+x+y+1}=2\)(đk: - 1 < = x,y < = 1)

<=> \(xy-x-y+1+xy+x+y+1+2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}=4\)

<=> \(2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}=2-2xy\)

<=> \(\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+1}=1-xy\) (đk: xy < = 1)

<=> \(x^2y^2-x^2-y^2+1=x^2y^2-2xy+1\)

<=> \(x^2+y^2-2xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2=0\) <=> \(x=y\)

Thay x = y vào pt (3) => \(2\sqrt{1-x}=\sqrt{2}\) (đk: -1 < = x < = 1)

<=> 4(1 - x) = 2 <=> 4 - 4x = 2 <=> 2 = 4x <=> x = 1/2

=> x = y = 1/2 (tm)

Ta có: \(A=4x+\frac{25}{x-1}=4\left(x-1\right)+\frac{25}{x-1}+4\)

Do x > 1 => x - 1 > 0

Áp dụng bđt cosi cho 2 số dương 4(x - 1) và 25/(x - 1)

Ta có: \(4\left(x-1\right)+\frac{25}{x-1}\ge2\sqrt{4\left(x-1\right)\cdot\frac{25}{x-1}}=2.10=20\)

=> \(4\left(x-1\right)+\frac{25}{x-1}+4\ge20+4=24\)

Hay \(A\ge24\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(4\left(x-1\right)=\frac{25}{x-1}\)

<=> \(\left(x-1\right)^2=\frac{25}{4}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=\frac{5}{2}\\x-1=-\frac{5}{2}\end{cases}}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{7}{2}\left(tm\right)\\x=-\frac{3}{2}\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy MinA = 24 khi x = 7/2

Ta có\(\frac{x^3+2000}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{2000}{x}=x^2+\frac{2000}{x}\)

Để N có GTNN khi \(\frac{2000}{x}\)có GTNN <=> x có GTLN

=> x=-1

thay x=-1 vào N ta có (-1)² + \(\frac{2000}{-1}\)=1-2000=-1999

c) \(\left(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\cdot\sqrt{7}+\sqrt{84}\)

\(=\left(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\cdot\sqrt{7}+2\sqrt{21}\)

\(=14-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}\)

\(=21\)

d) \(\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)^2-\sqrt{125}\) ??

\(=6+2\sqrt{30}+5-5\sqrt{5}\)

\(=11+2\sqrt{30}-5\sqrt{5}\)

a) đk: \(x\ge2\)

Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x-1}\) (đã sửa đề)

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x\left(x-2\right)}=4\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow3x-4=2\sqrt{x^2-2x}\)

\(\Leftrightarrow9x^2-24x+16=4\left(x^2-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow5x^2-16x+16=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}\right)+\frac{16}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(x-\frac{8}{5}\right)^2=-\frac{16}{5}\) vô lý

=> PT vô nghiệm

b) Đề chắc là: \(x^2+x+12=\sqrt{36}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+12-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{23}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{23}{4}\) vô lý

=> PT vô nghiệm

Não đặc-.-

Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek

Bài 1: CMR: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) với a,b,c dương

Bài làm:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}\)

\(=1-1=0\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r

ĐK: \(a\ne\pm b\sqrt{5}\)(*)

\(\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\sqrt{5}\right)-3\left(a+b\sqrt{5}\right)=-\left(9+20\sqrt{5}\right)\left(a+b\sqrt{5}\right)\left(a-b\sqrt{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow9a^2-45b^2-a=\sqrt{5}\left(-20a^2+100b^2+5b\right)\)(*)

Ta thấy (*) có dạng \(A=B\sqrt{5}\)nếu \(B\ne0\)thì \(\sqrt{5}=\frac{A}{B}\in Z\)(vô lý) Vậy B=0 => A=0

Do đó: (*) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9a^2-45b^2-a=0\\-20a^2+100b^2+5b=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9a^2-45b^2-a=0\\-9a^2+45b^2+\frac{9}{4}b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9a^2-45b^2-a=0\\a=\frac{9}{4}b\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{9}{4}b\\b^2-4b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=9\\b=4\end{cases}}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)( Loại vì không thoả mãn đk (*))

=> a=9;b=4.