Do các cạnh của hình hộp chữ nhật là một cấp số nhân nên đặt q là công bội của cấp số nhân ta có lần lượt các cạnh là: \(x;xq;xq^2\) 

Theo đề bài ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x\cdot xq\cdot xq^2=a^3\\2\cdot x\cdot\left(xq+xq^2\right)+2\cdot xq\cdot xq^2=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3q^3=a^3\\2x\cdot\left(xq+xq^2\right)+2x^2q^3=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\2xq\left(x+xq\right)+2x^2q^3=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\2a\left(x+a\right)+2a^2q=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\2ax+2a^2+2a^2q=2ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\ax+a^2+a^2q=ma^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xq=a\\x+a+aq=ma\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\cdot aq=a^2\\x+aq=a\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)

Khi đó x và aq chính là nghiệm của pt: 

\(t^2-a\left(m-1\right)t+a^2=0\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{\left[-a\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot a^2}=\sqrt{a^2\left(m^2-2m+1\right)-4a^2}\\ =\sqrt{a^2m^2-2ma^2+a^2-4a^2}=a\sqrt{m^2-2m-3}\\ =a\sqrt{\left(m-3\right)\left(m+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\t_2=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\) 

Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\aq=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\q=\dfrac{\left(m-1\right)-\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow x+xq+xq^2=....\) 

Với: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\aq=\dfrac{a\left(m-1\right)+a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a\left(m-1\right)-a\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\\q=\dfrac{\left(m-1\right)+\sqrt{\left(m+1\right)\left(m-3\right)}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+xq+xq^2=...\)

\(\lim\limits\left(\sqrt{n^2+7}-\sqrt{n^2+5}\right)\)

\(=\lim\limits\dfrac{n^2+7-n^2-5}{\sqrt{n^2+7}+\sqrt{n^2+5}}\)

\(=\lim\limits\dfrac{2}{\sqrt{n^2+7}+\sqrt{n^2+5}}\)

\(=\lim\limits\dfrac{\dfrac{2}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{7}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{5}{n^2}}}=\dfrac{0}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=0\)

\(\lim\limits\left(n+\sqrt{n^2-n+1}\right)\)

\(=\lim\limits\dfrac{n^2-\left(n^2-n+1\right)}{n-\sqrt{n^2-n+1}}\)

\(=\lim\limits\dfrac{n^2-n^2+n-1}{n-\sqrt{n^2\left(1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}}\)

\(=\lim\limits\dfrac{n-1}{n-n\cdot\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}}\)

\(=\lim\limits\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{1-\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}}=+\infty\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits1-\dfrac{1}{n}=1-0=1\\\lim\limits\left(1-\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}\right)=1-\sqrt{1-0+0}=1-1=0\end{matrix}\right.\)

a/

Xét tg SAD có

SM=DM; SN=AN => MN là đường trung bình của tg SAD

=> MN//AD

Mà AD//BC (cạnh đối hbh)

=> MN//BC mà \(BC\in\left(SBC\right)\) => MN//(SBC)

C/m tương tự ta cũng có NP//(SCD)

b/

Ta có

NP//(SCD) (cmt) (1)

Xét tg SBD có

SP=BP (gt)

OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> PO là đường trung bình của tg SBD

=> PO//SD mà \(SD\in\left(SCD\right)\) => PO//(SCD) (2)

Từ (1) và (2) => (ONP)//(SCD)

C/m tương tự ta cũng có (OMN)//(SBC)

c/

Trong (ABCD) , qua O dựng đường thẳng // AD cắt AB và CD lần lượt tại H và K Ta có

MN//AD (cmt)

=> KH//MN

\(O\in\left(OMN\right);O\in KH\)

\(\Rightarrow KH\in\left(OMN\right)\) mà \(H\in AB;K\in CD\)

=>K; H là giao của (OMN) với CD và AB

d/

Ta có

KH//AD

AB//CD => AH//DK

=> AHKD là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

=> AD=HK

Ta có

MN là đường trung bình của tg SAD (cmt)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{AD}{2}\) mà AD=HK (cmt)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{HK}{2}\Rightarrow\dfrac{MN}{HK}=\dfrac{1}{2}\)

\(\lim\limits\left(\sqrt[3]{1+2n-n^3}-n\right)\)

\(=\lim\limits\dfrac{1+2n-n^3-n^3}{\sqrt[3]{\left(1+2n-n^3\right)^2}+n\cdot\sqrt[3]{1+2n-n^3}+n^2}\)

\(=\lim\limits\dfrac{1+2n-2n^3}{\sqrt[3]{\left(1+2n-n^3\right)^2}+n\cdot\sqrt[3]{1+2n-n^3}+n^2}\)

\(=\lim\limits\dfrac{n^3\left(-2+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)}{n^2\cdot\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^2}-1\right)^2}+n^2\cdot\sqrt[3]{-1+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}}+n^2}\)

\(=\lim\limits\dfrac{n\left(-2+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)}{\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^2}-1\right)^2}+\sqrt[3]{-1+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}}+1}\)

\(=-\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits n=+\infty\\\lim\limits\dfrac{-2+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}}{\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^2}-1\right)^2}+\sqrt[3]{-1+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}}+1}=\dfrac{-2}{1+1+1}=-\dfrac{2}{3}< 0\end{matrix}\right.\)

Phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp

1. \(A\pm B\) có liên hợp là \(A\mp B\).

2. \(\sqrt{A}\pm B\) có liên hợp là \(\sqrt{A}\mp B\).

3. \(\sqrt{A}\pm\sqrt{B}\) có liên hợp là \(\sqrt{A}\mp\sqrt{B}\).

4. \(\sqrt[3]{A}\pm B\) có liên hợp là \(\sqrt[3]{A^2}\mp B\sqrt[3]{A}+B^2\).

Bài giải: Áp dụng biểu thức liên hợp số 4

    \(\lim\left(\sqrt[3]{1+2n-n^3}-n\right)\)

\(=\lim\dfrac{\left(\sqrt[3]{1+2n-n^3}-n\right)\left[\sqrt[3]{\left(1+2n-n^3\right)^2}+n\sqrt[3]{1+2n-n^3}+n^2\right]}{\sqrt[3]{\left(1+2n-n^3\right)^2}+n\sqrt[3]{1+2n-n^3}+n^2}\)

\(=\lim\dfrac{1+2n-n^3-n^3}{\sqrt[3]{n^6-4n^4-2n^3+4n^2+4n+1}+\sqrt[3]{n^3+2n^4-n^6}+n^2}\)

\(=\lim\dfrac{\left(1+2n-2n^3\right)\div n^3}{\left(\sqrt[3]{n^6-4n^4-2n^3+4n^2+4n+1}+\sqrt[3]{n^3+2n^4-n^6}+n^2\right)\div n^3}\)

\(=\lim\dfrac{\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^2}-2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{n^3}-\dfrac{4}{n^5}-\dfrac{2}{n^6}+\dfrac{4}{n^7}+\dfrac{4}{n^8}+\dfrac{1}{n^9}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{n^6}+\dfrac{2}{n^5}-\dfrac{1}{n^3}}+\dfrac{1}{n}}\)

\(=-\infty\)

(vì \(\lim\left(\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^2}-2\right)=-2\) và \(\lim\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{n^3}-\dfrac{4}{n^5}-\dfrac{2}{n^6}+\dfrac{4}{n^7}+\dfrac{4}{n^8}+\dfrac{1}{n^9}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{n^6}+\dfrac{2}{n^5}-\dfrac{1}{n^3}}+\dfrac{1}{n}\right)=0\), chia được \(\dfrac{-2}{0}\) nên ra \(-\infty\))

\(u_{n+1}-u_n\)

\(=\sqrt{u_n+2}-u_n\)

\(=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{-\left(u_n-2\right)\left(u_n+1\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}\)

\(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\)

=>\(u_{n+1}^2=u_n+2\)

=>\(u_{n+1}^2-4=u_n-2\)

=>\(\left(u_{n+1}-2\right)\left(u_{n+1}+2\right)=u_n-2\)

Để \(u_n< 2\) thì \(u_n-2< 0\)

=>\(u_{n+1}-2< 0\)

=>\(u_n< 2\forall n>=1\)

=>\(u_{n+1}-u_n>0\)

=>Đây là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2

a á ớ

đọc thấy rối quá ạ

(em mới lớp 5 ạ)

chúc mn giải đc nha