Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tìm giá trị nhỏ nhất :
A = x mũ 2 - 20x + 101
Tìm giá trị lớn nhất :
B= 4x - x mũ 2 + 3
làm giúp mik nha
Trả lời:
1, A = x2 - 20x + 101
= ( x2 - 20x + 100 ) + 1
= ( x - 10 )2 + 1
Ta có: \(\left(x-10\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-10\right)^2+1\ge1\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi x - 10 = 0 <=> x = 10
Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 10.
2, B = 4x - x2 + 3
= ( - x2 + 4x - 4 ) + 7
= - ( x2 - 4x + 4 ) + 7
= - ( x - 2 )2 + 7
Ta có: \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Leftrightarrow-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\)
\(\Leftrightarrow-\left(x-2\right)^2+7\le7\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2
Vậy GTLN của B bằng 7 khi x = 2
Xét tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD và BC cắt nhau tại O
Gọi D1 và C1 lần lượt là các điểm đối xứng của C và D qua O
Khi đó:\(\hept{\begin{cases}AC_1=AC\\BD_1=BD\\C_1D_1=CD\end{cases}}\)
Áp dụng định lí ta có:
Tứ giác \(ABC_1D_1:AD_1\perp BC_1\)
\(\Leftrightarrow AB^2+C_1D_1^2=AC_1^2+BD_1^2\)
\(\Rightarrow AD\perp BC\)
\(\Leftrightarrow AB^2+CD^2=AC^2+BD^2\)
Cre:h
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\).
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}< \frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+c}{c+a}=1\)
\(\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=\frac{b+d}{d+b}=1\)
Suy ra đpcm.
Câu 5:
\(P=\frac{2x+yz}{y+z}+\frac{2y+zx}{z+x}+\frac{2z+xy}{x+y}\left(x,y,z>0\right)\).
Ta có:
\(\frac{2x+yz}{y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)+yz}{y+z}\)(vì \(x+y+z=2\)).
\(\Rightarrow\frac{2x+yz}{y+z}=\frac{x\left(x+y\right)+xz+yz}{y+z}=\frac{x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)}{y+z}\)\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{y+z}\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{2y+zx}{z+x}=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{2z+xy}{x+y}=\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}\).
Do đó:
\(P=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{y+z}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\frac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{x+y}\).
Đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\left(a,b,c>0\right)\)thì \(a+b+c=2\left(x+y+z\right)=2.2=4\). Do đó:
\(P=\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\).
Vì \(a,b,c>0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ac.ab}{bc}}=2a\)\(\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{ac}{b}=\frac{ab}{c}\Leftrightarrow\frac{c}{b}=\frac{b}{c}\Leftrightarrow b=c>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)\(\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)\(\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) , ta được:
\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2a+2b+2c\).
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c\).
\(\Leftrightarrow P\ge4\)(vì \(a+b+c=4\)).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=y+z=z+x\\x,y,z>0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà \(x+y+z=2\)nên \(x=y=z=\frac{2}{3}\).
Vậy \(minP=4\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\).
Câu 3:
\(\frac{1}{3a+b}+\frac{2}{a+3b}=\frac{3}{2a+2b}\).
\(\Leftrightarrow\left[\frac{1}{3a+b}-\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right]+2\left[\frac{1}{a+3b}-\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right]=0\).
\(\Leftrightarrow\left[\frac{2\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}-\frac{3a+b}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}\right]\)\(+2\left[\frac{2\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}-\frac{a+3b}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}\right]=0\).
\(\Leftrightarrow\frac{2a+2b-3a-b}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}+2.\frac{2a+2b-a-3b}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}+\frac{2\left(a-b\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}\left(\frac{1}{3a+b}-\frac{2}{a+3b}\right)=0\).
Vì \(0< a< b\)nên \(a+b>0;b-a>0\)\(\frac{b-a}{\left(a+b\right)}>0\Rightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}>0\)\(\Rightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}\ne0\). Lúc đó:
\(\frac{1}{3a+b}-\frac{2}{a+3b}=0:\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3a+b}-\frac{2}{a+3b}=0\).
\(\Leftrightarrow\frac{a+3b}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}-\frac{2\left(3a+b\right)}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).
\(\Leftrightarrow\frac{a+3b-6a-2b}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).
\(\Leftrightarrow\frac{b-5a}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).
Vì \(0< a< b\)nên \(3a+b>0;a+3b>0\)\(\Rightarrow\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)>0\Rightarrow\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)\ne0\).
Do đó:
\(\frac{b-5a}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=\frac{0}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\).
\(\Rightarrow b-5a=0\Leftrightarrow b=5a\)(thỏa mãn \(0< a< b\)).
\(M=\frac{3}{3a+b}+\frac{2}{a+3b}-\frac{3}{a+b}\).
Thay \(b=5a\)vào \(M\), ta được:
\(M=\frac{3}{3a+5a}+\frac{2}{a+3.5a}-\frac{3}{a+5a}\).
\(M=\frac{3}{8a}+\frac{2}{16a}-\frac{3}{6a}=\frac{3}{8a}+\frac{1}{8a}-\frac{1}{2a}=\frac{1}{4a}-\frac{1}{2a}\).\(=\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}=0\)
Vậy \(M=0\).