A = \(\dfrac{7n+1}{6}\) ; A ; n\(\in\) N; cm: \(\dfrac{n}{2}\); \(\dfrac{n}{3}\) tối giản.

A = \(\dfrac{7n+1}{6}\) ; A \(\in\)N \(\Leftrightarrow\) 7n + 1 \(⋮\) 6 \(\Leftrightarrow\) 6n + n + 1 \(⋮\) 6 ⇔ n+1 \(⋮\) 6

\(\Leftrightarrow\) n = 6k - 1 ; Ư(2) = {1; 2}; 1 \(⋮̸\) 2 ⇒ 6k - 1 \(⋮̸\) 2 

⇒ƯCLN(n;2) =1 ⇒ \(\dfrac{n}{2}\) tối giản (1)

Ư(3) = {1; 3}; 1 \(⋮̸\) 3 ⇒ 6k - 1 \(⋮̸\) 3 

⇒ ƯCLN(n;3) = 1 ⇒ \(\dfrac{n}{3}\) tối giản (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có 

\(\dfrac{7n+1}{6}\) là số tự nhiên với n \(\in\) N thì \(\dfrac{n}{2}\) và \(\dfrac{n}{3}\) tối giản (đpcm)

2 x (a+b+c) = 50

a+b+c=25

c = 25 - 12 = 13

b = 25 - 18 = 7

a = 25 - 20 = 5

2 x ( a + b + c ) = 50

        a + b + c.   = 50 : 2

        a + b + c.   = 25

c = 25 - 12 = 13 

b = 25 - 18 = 7 

a = 12 - 7 = 5

N =3+3³+3³+...+3⁹⁹

    =(3+3³+3³)+...+(3⁹⁷+3⁹⁸+3⁹⁹)

   =3.(1+3+3²)+...+3⁹⁷.(1+3+3²)

   =(3+...3⁹⁷).(1+3+3²)

   =3.(1+...+3⁹⁶).13 

   =39.(1+...+3⁹⁶)

Có 39 chia hết cho 39

=> 39.(1+...+3⁹⁶) chia hết cho 39

=> N chia hết cho 39 hay N : 9 dư 0

Vậy:...

G = \(\left(\dfrac{1313}{1414}+\dfrac{10}{160}\right)-\left(\dfrac{130}{140}-\dfrac{1515}{1616}\right)\)

= \(\left(\dfrac{13}{14}+\dfrac{1}{16}\right)-\left(\dfrac{13}{14}-\dfrac{15}{16}\right)\)

= \(\dfrac{13}{14}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{13}{14}+\dfrac{15}{16}\)

= \(\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}=1\)

Để chứng minh A > 9/10, ta phải tính giá trị của biểu thức A và so sánh với 9/10.
Đầu tiên, ta cần nhận ra rằng các phân số có chung mẫu số 3, 4, 5, 6, 7, 8... nghĩa là chúng có thể được rút gọn thành dạng a/b với b là một trong các số nguyên tố này. 

Ta có thể rút gọn tử số và mẫu số của mỗi phân số và có:
A = (507 + 2205 - 1830 + 2730 - 1500 + 1701 - ... + 959757 - 986100)/118592250

Đơn giản hóa tử số, ta được: 
A = (-199 +197 +17 - 15 + 13 - 11+9/2)/11859250

Phát biểu đơn giản của A là
A = 247839/263450750.

Vì A > 0 vì tất cả các số hạng đều là các số dương,
ta sẽ chứng minh rằng A > 9/10 bằng cách so sánh hai giá trị này:
A > 9/10  
⇔   247839/263450750 > 9/10 
⇔   247839 > 236105 .

Vì điều kiện cuối cùng đúng, ta kết luận rằng A > 9/10.

Gọi số có 5 chữ số đó là x

Viết 7 đằng trước có dạng \(\overline{7x}\) = 700000 +x

Viết 7 đằng sau có dạng \(\overline{x7}\)  = x.10+7

Theo bài ra ta có:

        700000+x= 4.( 10x+7)

             Hay 39x=699972

                         X=17948

       Vậy số có năm chữ số cần tìm là 17948

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

=> \(\dfrac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\)

=> \(\dfrac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)

=>\(\dfrac{c}{a}=1\Rightarrow c=a\)

Vậy a=b=c

Dùng tỉ lệ thức em ha

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

Suy ra\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=1\) Từ đó suy ra a=b=c