Ta đi chứng minh công thức tổng quát: \(f\left(n\right)=\frac{2n+1+\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\left(n+1\right)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}\)

Thật vậy: \(\left[\left(n+1\right)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}\right]\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)=\left(n+1\right)\sqrt{n\left(n+1\right)}-n^2+\left(n+1\right)^2-n\sqrt{n\left(n+1\right)}=2n+1+\sqrt{n\left(n+1\right)}\)Áp dụng, ta được: \(f\left(1\right)+f\left(2\right)+...+f\left(2020\right)=\left(2\sqrt{2}-1\sqrt{1}\right)+\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)+\left(4\sqrt{4}-3\sqrt{3}\right)+...+\left(2021\sqrt{2021}-2020\sqrt{2020}\right)=2021\sqrt{2021}-1\)

Bài 2 : 

\(x^2+xy-2013x-2014y-2015=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+xy-2014x-2014y+x-2014-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy\right)-\left(2014x+2014y\right)+\left(x-2014\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-2014\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y+1\right)=1\)

Vì x, y là số nguyên dương \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2014\inℤ\\x+y+1\inℤ\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x-2014\)và \(x+y+1\)là ước của 1

Lập bảng giá trị ta có:

Vậy các cặp giá trị \(\left(x;y\right)\)thỏa mãn đề bài là \(\left(2013;-2015\right)\)hoặc \(\left(2015;-2015\right)\)

Ta có: \(0< a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2< 3\Rightarrow a,b,c< \sqrt{3}< 2\)

Xét bất đẳng thức phụ: \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left(2-a\right)}{2a}\ge0\)*đúng*

Áp dụng, ta được: \(P\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}.3=9\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

XÉT tam giác ABC vuông tại A : BC²=AB²+AC²=36+64+100 

=>BC=10.

b) áp dụng tích chất đường pg trong tam giác vào tam giác abc ta có :

AB/AC=BD/DC <=> 6/8=BD/DC<=>BD/6=DC/8=K .

=> 6K=DC ; 8K=BD .

CÓ  BD+DC =BC=10

<=>6K+8K=10

<=>14K=10

<=>K=5/7 .

=>DB=5/7 . 8 = 40/7 ;DC=5/7 . 6 =30/7 .

C) TG AEDF LÀ HCN VÌ : GÓC DÈ = GÓC EAF = GÓC AFD=90'.

CHU VI VÀ DIỆN TÍCH THÌ TÍNH CẠNH EA VÀ ED THÌ RA.

\(9x^2+3y^2+6xy-6x+2y-35=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2+6xy+y^2\right)-2\left(3x+y\right)+1+2y^2+4y+2=38\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+y-1\right)^2+2\left(y+1\right)^2=38\)(*)

\(\Rightarrow\left(3x+y-1\right)^2=38-2\left(y+1\right)^2\le38\)

\(\Rightarrow-\sqrt{38}\le3x+y-1\le\sqrt{38}\)

Từ (*) suy ra 3x + y - 1 chẵn mà 3x + y - 1 nguyên nên \(3x+y-1\in\left\{\pm6;\pm4;\pm2;0\right\}\)

* Nếu \(3x+y-1=\pm6\)thì \(2\left(y+1\right)^2=2\Rightarrow y+1=\pm1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=-2\\y=0\end{cases}}\)

Th1: \(3x+y-1=6\)

+) \(y=-2\Rightarrow x=3\)

+) \(y=0\Rightarrow x=\frac{7}{3}\left(L\right)\)

Th2: \(3x+y-1=-6\)

+) \(y=-2\Rightarrow x=-1\)

+) \(y=0\Rightarrow x=\frac{-5}{3}\left(L\right)\)

* Nếu \(3x+y-1=\pm4\)thì \(2\left(y+1\right)^2=22\left(L\right)\)

* Nếu \(3x+y-1=\pm2\)thì \(2\left(y+1\right)^2=34\left(L\right)\)

* Nếu 3x + y - 1 = 0 thì \(2\left(y+1\right)^2=38\left(L\right)\)

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(3;-2\right);\left(-1;-2\right)\right\}\)

\(ĐK:x\ge0\)

\(x^2-2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4=0\Leftrightarrow\left(x^2+2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}\right)-4\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(x+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-4\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left[\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+2\left(\sqrt{x}-2\right)\right]=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+2\right)=0\)

Ta có \(x+2\sqrt{x}+2=x+2\sqrt{x}+1+1=\left(\sqrt{x}+1\right)^2+1>0\forall x\inℝ\)nên \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{x}=2\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=4\end{cases}}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1;4}