\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|x+2\right|}{x}\le3\)

- Với \(x< 0\) BPT \(\Rightarrow\dfrac{\left|x+2\right|}{x}< 0\) hiển nhiên đúng 

- Với \(x>0\Rightarrow x+2>0\) BPT tương đương:

\(\dfrac{x+2}{x}\le3\Leftrightarrow x+2\le3x\Rightarrow x\ge1\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x< 0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

a, Theo định lí cos:

\(AC^2=BC^2+AB^2-2AB.BC.cosB=57\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{57}\left(cm\right)\)

b, \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.BC.sinB=\dfrac{1}{2}.7.8.sin60^o=14\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

Mặt khác lại có \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}p.r\Rightarrow r=\dfrac{2.S_{ABC}}{p}=\dfrac{2.14\sqrt{3}}{\dfrac{7+8+\sqrt{57}}{2}}=\dfrac{56\sqrt{3}}{15+\sqrt{57}}\left(cm\right)\)

a) \(\dfrac{x^2-3x-4}{x^2-2x+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\ge0\\x^2-2x+1\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\x^2-2x+1\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge4\end{matrix}\right.\\x=1\end{matrix}\right.\)

a, \(\overrightarrow{AC}=\left(2;-4\right)\)

\(\Rightarrow AC\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left(4;2\right)\) là vecto pháp tuyến

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát của AC là \(4\left(x-3\right)+2\left(y-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+y-10=0\)

b, \(M=\left(\dfrac{3+5}{2};\dfrac{4+0}{2}\right)=\left(4;2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(3;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình tham số của BM là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)

c, Gọi d là đường thẳng cần tìm

Vì d vuông góc với \(\Delta\) nên d nhận \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)\) là vecto chỉ phương

\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng d là \(\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-4}{-3}\Leftrightarrow3x+2y-17=0\)

d, Gọi D là trung điểm của BC

\(\Rightarrow D=\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{3+0}{2}\right)=\left(3;\dfrac{3}{2}\right)\)

Đường thẳng cần tìm nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(4;-3\right)\) là vecto pháp tuyến

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát trung trực BC là \(4\left(x-3\right)-3\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x-3y-\dfrac{15}{2}=0\)

Nếu \(m=-2\), phương trình trở thành \(6x-4=0\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{6}\)

Nếu \(m\ne-2\)

a, Phương trình có hai nghiệm khi \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+2\right)\left(m-2\right)=-2m+5>0\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)

Vậy \(m< \dfrac{5}{2},m\ne-2\)

b, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(\left(m+2\right)\left(m-2\right)< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)

Vậy \(-2< m< 2\)

c, Phương trình có hai nghiệm dương khi \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=-2m+5>0\\\left(m+2\right).f\left(0\right)>0\\\dfrac{m-1}{m+2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -2\\2< m< \dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

a, \(f\left(x\right)=x^2+2mx+3m^2-m-1=0\) có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta'=m^2-\left(3m^2-m-1\right)=-2m^2+m+1>0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}< m< 1\)

b, \(f\left(x\right)=x^2+2mx+3m^2-m-1>0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=-2m^2+m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{1}{2}\\m>1\end{matrix}\right.\)

a, Kẻ \(CH\perp AB\Rightarrow CH=AC.sin60^o=\dfrac{8.\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{CH}{sin45^o}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{6}\)

\(AH=AC.cosA=8.cos60^o=4\)

\(BH=\dfrac{CH}{tan45^o}=4\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow AB=AH+BH=4\sqrt{3}+4\)

\(\widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180^o-60^o-45^o=75^o\)

b, \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AC.AB.sinA=\dfrac{1}{2}.8.\left(4+4\sqrt{3}\right).sin60^o=24+8\sqrt{3}\)

a) \(\widehat{C}\)= 180-(60+45)=75^o

Góc A = 180 độ - (góc B + góc C) = 180 độ - (44 độ 30 phút + 64 độ) = 71 độ 30 phút.

Từ B kẻ BH vuông góc với AC tại H. Trong tam giác vuông BHC, ta có:

CosC = CH/BC => CH = BC*CosC = 17,4*Cos64độ = 17,4*0,4384 = 7,6277

SinC = BH/BC => BH = BC*SinC = 17,4*Sin64độ = 17,4*0,8988 = 15,6390

Trong tam giác vuông AHB, ta có:

SinA = BH/AB => AB = BH/SinA = 15,6390/Sin71độ30phút = 15,6390/0,9483 = 16, 4916 = c

CosA = AH/AB => AH = AB*CosA = c*Cos71độ30phút = 16,4916*0,3173 = 5,2329

AC = AH + CH = 5,2329 + 7,6277 = 12,8606 = b

Vậy: A = 71độ30phút, b = 12,8606, c= 16,4916

\(\widehat{A}=180^O-\left(44^O33'+64^O\right)=71^O27'\)

THEO ĐỊNH LÝ SIN,TA CÓ:

\(\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2.\sin A}=\frac{17,4}{2.\sin71^O27'}\approx9,2\)

\(\frac{b}{\sin B}=2R\Rightarrow b=2R.\sin B=2.9,2.\sin44^O30'\approx12,9\)

\(\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow c=2R.\sin C=2.9,2.\sin64^O\approx16,5\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\)

\(d\left(M,d\right)=\dfrac{5}{13}d\left(M,\Delta\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left|5x-12y+4\right|}{13}=\dfrac{5}{13}.\dfrac{\left|4x-3y-10\right|}{5}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-9y+14=0\\9x-15y-6=0\end{matrix}\right.\)