Đặt \(A=\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^42}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)

\(A=\frac{y^4}{x+2}+\frac{z^4}{y+2}+\frac{x^4}{z+2}\ge1\)

Còn lại thì bạn tính tổng nha! Lớn hơn hoặc bằng 1 là được :))

A C H B E F D

a) \(\frac{3}{4}\sqrt{x}-\sqrt{9x}+5=\frac{1}{4}\sqrt{9x}\)

ĐK : x ≥ 0

⇔ \(\frac{3}{4}\sqrt{x}-\sqrt{3^2x}-\frac{1}{4}\sqrt{3^2x}=-5\)

⇔ \(\frac{3}{4}\sqrt{x}-3\sqrt{x}-\frac{1}{4}\cdot3\sqrt{x}=-5\)

⇔ \(-\frac{9}{4}\sqrt{x}-\frac{3}{4}\sqrt{x}=-5\)

⇔ \(-3\sqrt{x}=-5\)

⇔ \(\sqrt{x}=15\)

⇔ \(x=225\)( tm )

b) \(\sqrt{3-x}-\sqrt{27-9x}+1,25\sqrt{48-16x}=6\)

ĐK : x ≤ 3

⇔ \(\sqrt{3-x}-\sqrt{3^2\left(3-x\right)}+\frac{5}{4}\sqrt{4^2\left(3-x\right)}=6\)

⇔ \(\sqrt{3-x}-3\sqrt{3-x}+\frac{5}{4}\cdot4\sqrt{3-x}=6\)

⇔ \(-2\sqrt{3-x}+5\sqrt{3-x}=6\)

⇔ \(3\sqrt{3-x}=6\)

⇔ \(\sqrt{3-x}=2\)

⇔ \(3-x=4\)

⇔ \(x=-1\)( tm )

c) \(\sqrt{9x^2+12x+4}=4\)

⇔ \(\sqrt{\left(3x+2\right)^2}=4\)

⇔ \(\left|3x+2\right|=4\)

⇔ \(\orbr{\begin{cases}3x+2=4\\3x+2=-4\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\x=-2\end{cases}}\)

d) \(\frac{1}{3}\sqrt{x-1}+2\sqrt{4x-4}-12\sqrt{\frac{x-1}{25}}=\frac{29}{15}\)

ĐK : x ≥ 1

⇔  \(\frac{1}{3}\sqrt{x-1}+2\sqrt{2^2\left(x-1\right)}-12\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot\left(x-1\right)}=\frac{29}{15}\)

⇔  \(\frac{1}{3}\sqrt{x-1}+2\cdot2\sqrt{x-1}-12\cdot\frac{1}{5}\sqrt{x-1}=\frac{29}{15}\)

⇔  \(\frac{1}{3}\sqrt{x-1}+4\sqrt{x-1}-\frac{12}{5}\sqrt{x-1}=\frac{29}{15}\)

⇔ \(\frac{29}{15}\sqrt{x-1}=\frac{29}{15}\)

⇔ \(\sqrt{x-1}=1\)

⇔ \(x-1=1\)

⇔ \(x=2\)( tm )

AM-Gm đyyyyy

Giả sử P đạt min khi x=a=z>0; b=y>0; c=t>0. Khi đó bx=bz=ay; cx=cz=at và ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT AM-GM như sau:

\(abxy\le\frac{b^2x^2+a^2y^2}{2}\left(1\right);abyz\le\frac{a^2y^2+b^2z^2}{2}\left(2\right);aczt\le\frac{c^2z^2+a^2t^2}{2}\left(3\right);actx\le\frac{a^2t^2+c^2x^2}{2}\left(4\right)\)

Từ (1);(2); (3) và (4) suy ra:

\(abcxy\le\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)}{2}\left(5\right);abcyz\le\frac{c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)}{2}\left(6\right);abczt\le\frac{b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)}{2}\left(7\right);abctx\le\frac{b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}\left(8\right)\)

Cộng các bất đẳng thức (5) (6) (7) (8) theo vế ta được

\(abc=abc\left(xy+yz+zt+tx\right)\le\)\(\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)+c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)+b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)+b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}=\frac{\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2}{2}\)

tức \(\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2\ge2abc\left(9\right)\)

Như vậy để tìm minP cần tìm các số a,b,c theo tỉ lệ thích hợp sao cho hệ số x²;y²;t² chia nhau theo tỉ lệ 5:4:1

\(\frac{b^2c+bc^2}{5}=\frac{2a^2c}{4}=\frac{2a^2b}{1}\)

Mặt khác, ta có bất đẳng thức xảy ra khi x=z=a;y=b;c=t mà theo giả thiết xy+yz+zt+tx=1 nên phải có ab+bc+ca+ac=1

Và như vậy ta đưa được bài toán về việc giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\frac{bc\left(b+c\right)}{5}=\frac{a^2c}{2}=2a^2b\\a\left(b+c\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)(*)

Giải hệ này ta tìm được \(a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)khi đó bất đẳng thức (9) trở thành

\(10a^2b\left(x^2+z^2\right)+8a^2by^2+2a^2b^2t^2\ge2abc\)

\(\Rightarrow P=5x^2+5z^2+4y^2+t^2\ge\frac{2abc}{2a^2b}=\frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)

Vì vậy ta có đẳng thức xảy ra khi \(x=z=a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=y=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=t=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)

Bài 2: 

a) \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\);

\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}\); ............. ; \(\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}=\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+......+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\)

\(=\sqrt{2025}-\sqrt{1}=45-1=44\)

Bài 4: 

\(M=\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}\)

\(=\frac{\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}}{\sqrt{9-2.3.2\sqrt{2}+8}}-\frac{\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}}{\sqrt{9+2.3.2\sqrt{2}+8}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(3-\sqrt{8}\right)^2}}-\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}{\sqrt{\left(3+\sqrt{8}\right)^2}}\)

\(=\frac{\left|\sqrt{2}-1\right|}{\left|3-\sqrt{8}\right|}-\frac{\left|\sqrt{2}+1\right|}{\left|3+\sqrt{8}\right|}=\frac{\sqrt{2}-1}{3-\sqrt{8}}-\frac{\sqrt{2}+1}{3+\sqrt{8}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3+\sqrt{8}\right)}{\left(3-\sqrt{8}\right)\left(3+\sqrt{8}\right)}-\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(3-\sqrt{8}\right)}{\left(3+\sqrt{8}\right)\left(3-\sqrt{8}\right)}\)

\(=\left(3\sqrt{2}+\sqrt{16}-3-\sqrt{8}\right)-\left(3\sqrt{2}-\sqrt{16}+3-\sqrt{8}\right)\)

\(=3\sqrt{2}+4-3-\sqrt{8}-3\sqrt{2}+4-3+\sqrt{8}\)

\(=8-6=2\)là số tự nhiên