\(\left(\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}}+\frac{5}{\sqrt{5}}\right):\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\left(\frac{\sqrt{3}.\left(1+\sqrt{5}\right)}{1+\sqrt{5}}+\sqrt{5}\right).\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\)

\(=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=5-3=2\)

A D B E C

Dựng hình bình hành ADBE như hình vẽ

\(\Rightarrow AE//BD\) mà \(BD\perp AC\)nên \(AE\perp AC\)

Xét tam giác AEC vuông tại A có đường cao AB, theo hệ thưc lượng ta có:

\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{AC^2}\)(Như vậy để chứng minh đề của e là AD chứ không phải AB thì cần điều kiện AB=AD, a nghĩ là e gõ nhầm chứ không nghĩ là có điều kiện trên nhỉ)

\(\widehat{BAH}=180^o-\widehat{BAC}=180^o-120^o=60^o\)

Xét tg vuông ABH có

\(\widehat{ABH}=90^o-\widehat{BAH}=90^o-60^o=30^o\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB}{2}\) (Trong tg vuông cạnh đối diện góc 30 bằng nửa cạnh huyền) \(\Rightarrow2AH=AB\left(dpcm\right)\)

ĐKXD : \(\hept{\begin{cases}x-2013\ge0\\4028-2x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2013\\2x\le4028\end{cases}}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2013\\x\le2014\end{cases}}\)

vậy \(2013\le x\le2014\)

BT1: 

ĐK: \(a>0,a\ne1\).

\(A=\left(\frac{\sqrt{a}+2}{a+2\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}-2}{a-1}\right).\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

\(A=\left(\frac{\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right).\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

\(A=\frac{a+\sqrt{a}-2-\left(a-\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

\(A=\frac{2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}=\frac{2}{a-1}\)

ĐK: \(a\ge0,a\ne1\).

\(B=\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(B=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(B=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a\)

BT2: 

a) ĐK: \(a\ge0,a\ne1\).

\(A=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{a-1}-\frac{\sqrt{a}+2}{a+2\sqrt{a}+1}\right).\frac{\left(1-a\right)^2}{2}\)

\(A=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}-\frac{\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}\right).\frac{\left(1-a\right)^2}{2}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(1-a\right)^2}{2}\)

\(A=\frac{a-\sqrt{a}-2-\left(a+\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(1-a\right)^2}{2}\)

\(A=\frac{-2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)\right)^2}{2}\)

\(A=-\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)=\sqrt{a}-a\)

b) \(A=\sqrt{a}-a=\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)>0\)

(Vì \(0< a< 1\Rightarrow1-\sqrt{a}>0\))

c) \(A=\sqrt{a}-a=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}-\sqrt{a}+a\right)=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\sqrt{a}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}\). Vậy GTLN của \(A\) là \(\frac{1}{4}\).

\(A=\frac{a^2-b^2}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a-b}=a+b\)

\(\Rightarrow A=a+b=a+\frac{1}{a}\ge2\)mà chú ý a>b nên \(1=ab< a^2\Rightarrow a>1\)

Nên dấu bằng của bất đằng thức Cauchy không xảy ra

hay A không có giá trị nhỏ nhất

\(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}+\frac{a^2-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{a}-1\right).\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{\left(\sqrt{a}+1\right).\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}.\left(1-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}-\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}}\ge\frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=4\)( BDT Cauchy) mà x khác 1 nên dấu bằng không xảy ra hay M>4

b.\(N=\frac{6}{M}< \frac{6}{4}\)nên N nguyên thì N=0 hoặc N=1

TH1: \(N=0\Leftrightarrow\frac{6}{M}=0\) vô lí

TH2:\(N=1\Leftrightarrow \dfrac{6}{M}=1\Leftrightarrow M=6\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}}=6\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+1\right)^2=6\sqrt{a}\)

\(\Leftrightarrow a-4\sqrt{a}+1=0\Rightarrow\sqrt{a}=2\pm\sqrt{3}\)

Hay \(a=7\pm4\sqrt{3}\)