1/ Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD 

=> OA=OC; OB=OD (trong HCN hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có AC=BD (trong HCN hai đường chéo băng nhau)

=> OA=OC=OB=OD => 4 điểm A;B;C;D cùng nằm trên một đường tròn tâm O là giao của hai đường chéo HCN

2/

a/

Ta có tam giác ABC vuông tại A => BC là cạnh huyền, gọi O là trung điểm cạnh huyền => AO là trung tuyến thuộc cạnh huyền

=> OA=OB=OC=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền) => O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

b/

Ta có tg ABC có BC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tg ABC => OA=OB=OC

+ Xét tg AOB có OA=OB => tg AOB cân tạo O => ^BAO = ^AOB (1)

+ Xét tg AOC có OA=OC => tg AOC cân tại O => ^CAO = ^AOC (2)

Xét tg ABC có 

^ABC+^ABO+^ACO=180 (tổng các góc trong của 1 tg =180 độ)

=> (^BAO+^CAO)+^ABO+^ACO=180 (3)

Từ (1) (2) và (3) => ^ABC=^BAO+^CAO=^ABO+^ACO=180:2=90

=> tg ABC vuông tại A

Theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2019\Rightarrow x+y+z=2019xyz\)

Xét \(\sqrt{2019x^2+1}=\sqrt{\frac{x^2+xy+xz}{yz}+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\)\(\Rightarrow\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}\le\frac{x^2+1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1}{x}=x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{2}{x}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}\le y+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+\frac{2}{y}\); \(\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le z+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{2}{z}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}+\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}+\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le\left(x+y+z\right)+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=2019xyz+3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le2019xyz+3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=2019xyz+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=2019xyz+2019^2xyz=2019.2020xyz\)Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{673}}\)