ĐKXĐ: \(x;y\ne0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{y+1}{y}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{1}{x}+1+\dfrac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}=2\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

Em cảm ơn thầy ạ!

Tách biểu thức như sau:

\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)

Đầu tiên em phải dự đoán được điểm rơi (các cặp a;b;c đẹp sao cho \(ab=12\) và \(bc=8\), có các bộ là \(\left(6;2;4\right);\left(3;4;2\right)\)

Sau đó thay 2 bộ kia vào P xem cái nào bằng \(\dfrac{121}{12}\) thì nó đúng (ở đây là 3;4;2)

Khi có điểm rơi, bây giờ chỉ cần tính toán và ghép theo AM-GM để khử tử- mẫu

Cần ghép \(\dfrac{8}{abc}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\) (AM-GM 4 số sẽ khử hết biến)

\(\dfrac{8}{abc}=\dfrac{8}{3.4.2}=\dfrac{1}{3}\)

Do đó \(\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=9;y=12;z=6\)

Hay ta có bộ đầu tiên: \(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\)

Tương tự cho các biến dưới mẫu còn lại, phần dư cuối cùng sẽ ghép cặp a với b (tận dụng \(ab\ge12\)) và b với c, nó sẽ tự đủ

a: y=45000+10500(x-4)=10500x+3000

b: 10500x+300=129000

=>10500x=126000

=>x=12

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^3+1+1\geq 3x$

$y^3+1+1\geq 3y$

$z^3+1+1\geq 3z$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq 3.3=9$

$\Rightarrow A=x^3+y^3+z^3\geq 3$ 

Vậy $A_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$

Vì a*c=-3<0

nên phương trình luôn có 2 nghiệm pb

x1^2+x2^2=10

=>(x1+x2)^2-2x1x2=10

=>(2m+2)^2+6=10

=>(2m+2)^2=4

=>2m+2=2 hoặc 2m+2=-2

=>m=-2 hoặc m=0

`3x^{4}-11x^{2}+10=0`

`<=>3x^{4}-6x^{2}-5x^{2}+10=0`

`<=>(x^{2}-2)(3x^{2}-5)=0`

`<=>x^{2}=2` hoặc `x^{2}=5/3`

\(<=>x=\pm \sqrt{2}\) hoặc \(x=\pm \dfrac{\sqrt{15}}{3}\)

\(B=\dfrac{2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{\left(x_1\cdot x_2\right)^2}-\dfrac{6029}{-3}\)

\(=\dfrac{2\cdot\left[\left(-3\right)^2-2\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right]}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2}+\dfrac{6029}{3}\)

\(=\dfrac{6061}{3}\)

\(y^3+3xy\left(x+y\right)=6x^2+6x+14\left(\cdot\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=x^3+6x^2+6x+14\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=x^3+6x^2+12x+8-6\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(x+2\right)^3-6\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^3-\left(x+y\right)^3=6\left(x-1\right)\)

Vì x là số tự nhiên nên \(x\ge0\)

Với \(x=0\). Thay vào (*) ta được:

\(y^3=14\left(loại\right)\)

Với \(x\ge1\Rightarrow6\left(x-1\right)\ge0\). Do đó:

\(\left(x+2\right)^3-\left(x+y\right)^3\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^3\ge\left(x+y\right)^3\)

\(\Rightarrow x+2\ge x+y\) (vì \(x,y\ge0\)) \(\Rightarrow y\le2\)

*Với \(y=0\). Thay vào (*) ta được:

\(6x^2+6x+14=0\).

Giải phương trình trên ta thấy phương trình vô nghiệm (loại).

*Với \(y=1\). Thay vào (*) ta được:

\(1+3x\left(x+1\right)=6x^2+6x+14\)

\(\Leftrightarrow3x^2+3x+13=0\).

Giải phương trình trên ta thấy phương trình vô nghiệm (loại).

*Với \(y=2\). Thay vào (*) ta được:

\(8+6x\left(x+2\right)=6x^2+6x+14\)

\(\Leftrightarrow6x-6=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(x=1;y=2\)

bạn ơi cho mình hỏi sao có thể tìm được khoảng giá trị của x vậy 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)+1=18\left(x+y\right)\left(1\right)\\3\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)\left(z+x\right)=9\left(x+y\right)+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)\left(z+x\right)=27\left(x+y\right)\)

Với \(x+y=0\). Thay vào (1) ta được: \(1=0\) (vô lí)

Với \(x+y\ne0\). Ta có:

\(x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=27\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3+3\left(x+y\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)=27\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)\left(z^2+yz+zx\right)+z^3=27\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3=27\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3=27\)

\(\Rightarrow x+y+z=3\Rightarrow x+y=3-z\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\left(3-z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+6z=z^2+9-2xy\left(đpcm\right)\)