Dùng Fermat:

Ta có: \(a^3-a\) chia hết cho 3

Khá dễ dàng để CM định lý Fermat dạng 2 cho 3 số này như sau:

\(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết cho 3

=> \(a^3-a\) chia hết cho 3

Hoàn toàn tương tự ta CM được: \(b^3-b\) và \(c^3-c\) chia hết cho 3

=> \(\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\) chia hết cho 3

<=> \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)\) chia hết cho 3

Mà \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 3 (chia hết cho 9)

=> \(a+b+c\) chia hết cho 3

Mà theo HĐT nâng cao ta có:

\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-3\left(ab+bc+ca\right)\right]+3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right]+3abc\)

Vì \(\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\) chia hết cho 3

=> \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right]\) chia hết cho 9

=> \(3abc\) chia hết cho 9

=> \(abc\) chia hết cho 3

=> đpcm

các bạn giúp mik với chiều nay đi học r mà chưa làm bài :<

Bài 1: 

\(10\sqrt{\frac{1}{5}}-\frac{5}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2-\sqrt{5}}\)

\(=10.\sqrt{\frac{5}{5^2}}-\sqrt{5}+\frac{2+\sqrt{5}}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}\)

\(=10.\frac{1}{5}.\sqrt{5}-\sqrt{5}+\frac{2+\sqrt{5}}{4-5}\)

\(=2\sqrt{5}-\sqrt{5}-\left(2+\sqrt{5}\right)\)

\(=2\sqrt{5}-\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=-2\)

Bài 2: 

\(ĐKXĐ:x\ge-1\)

\(\sqrt{9x+9}-2\sqrt{25x+25}=-14\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{9\left(x+1\right)}-2\sqrt{25\left(x+1\right)}=-14\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x+1}-2.5\sqrt{x+1}=-14\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x+1}-10\sqrt{x+1}=-14\)

\(\Leftrightarrow-7\sqrt{x+1}=-14\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=2\)

\(\Leftrightarrow x+1=4\)\(\Leftrightarrow x=3\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy \(x=3\)

Trước hết, ta xét bất đẳng thức phụ sau: \(m^2-mn+n^2\ge\frac{1}{3}\left(m^2+mn+n^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}mn+\frac{2}{3}n^2\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(m-n\right)^2\ge0\)*đúng*

Xét biểu thức\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^3}\right)+\left(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)\(\Rightarrow2VT=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+\frac{\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)}{c^2+ca+a^2}\)\(\ge\frac{\left(a+b\right)\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+\frac{\left(b+c\right)\frac{1}{3}\left(b^2+bc+c^2\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{\left(c+a\right)\frac{1}{3}\left(c^2+ca+a^2\right)}{c^2+ca+a^2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{3}\)Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

x^2+2=27 

<=>x^2=25

<=>x=+-5

Lập phương 2 vế ta có: 

\(x^2+2=3^3\)\(\Leftrightarrow x^2+2=27\)

\(\Leftrightarrow x^2=25\)\(\Leftrightarrow x^2-25=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-5=0\\x+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{5;-5\right\}\)