\(ĐK:x\inℝ\)

Xét \(x=-\frac{4}{5}\)thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn nên ​​\(x\ne-\frac{4}{5}\)

\(4\left(x^2+2x+6\right)=\left(5x+4\right)\sqrt{x^2+12}\Leftrightarrow\frac{4\left(x^2+2x+6\right)}{5x+4}=\sqrt{x^2+12}\)\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x^2+2x+6\right)}{5x+4}-4=\sqrt{x^2+12}-4\Leftrightarrow\frac{4\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{5x+4}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\sqrt{x^2+12}+4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{4x-4}{5x+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}\right)=0\)

Xét phương trình \(\frac{4x-4}{5x+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}=0\Leftrightarrow\frac{4x-4}{5x+4}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}\)\(\Leftrightarrow\left(4x-4\right)\sqrt{x^2+12}=5x^2-2x+24\)( \(x>1\))\(\Leftrightarrow\left(4x-4\right)^2\left(x^2+12\right)=\left(5x^2-2x+24\right)^2\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2\left(-9x^2+24x-96\right)=0\)

Dễ thấy phương trình trên vô nghiệm

Vậy nghiệm thực duy nhất của phương trình là 2

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\div\frac{2x\sqrt{x}}{1-x}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\div\frac{-2x\sqrt{x}}{x-1}\)

\(=\left(\frac{x+\sqrt{x}-x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\div\frac{-2x\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\times\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{-2x\sqrt{x}}\)

\(=-\frac{1}{x}\)

a/ d1 có y=(2m^2+1)X 2m-1, d2 có y =m2x+m-2 tìm giao điểm I d1 và d2 theo m

b/ khi m thay đổi, chứng minh điểm I luôn thuộc 1 đường thẳng cố định

Đặt \(u=a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\):

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{1+a+1+b}=\frac{4}{u+2}\)

\(a\left(1+a\right)+b\left(1+b\right)=a+b+a^2+b^2\ge a+b+2=u+2\)

\(\Rightarrow2a\left(1+a\right)+2b\left(1+b\right)\ge2u+12\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2a\left(1+a\right)+2b\left(1+b\right)+8}}\le\frac{1}{\sqrt{2u}+12}\)

\(\Rightarrow T\ge\frac{4}{u+2}-\frac{32}{\sqrt{2u}+12}=f\left(u\right),u\ge2\)

CM: \(f'\left(u\right)>0\forall u\ge2\)

Vậy Min T =f(2)=-7 <=> u=2 <=>a=b=1

áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có

\(\left(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(x-1+5-x\right)=100\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}\le10\)

dấu bằng xảy ra khi 

\(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)

Sửa đề : \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{5}{3}ĐK:x\ge0\)

\(3\sqrt{x}-6=5\sqrt{x}\Leftrightarrow-2\sqrt{x}-6=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=-3\Leftrightarrow x=9\)( vô lí )

Vậy PT vô nghiệm 

1ăedadaw