\(ĐKXĐ:x\ge1\)

\(x^2-3x=2\sqrt{x-1}-4\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-2\sqrt{x-1}+4=0\)

\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+1+x^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\right]+\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)(1)

Vì \(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\ge0\); \(\left(x-2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(x-2\right)^2\ge0\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)Dấu " = " xảy ra 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=2\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy \(x=2\)

                                             B A C H D E

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A, đường cao AH 

\(\Rightarrow\)Áp dụng hệ thức \(h^2=b^'c^'\)ta có: \(AH^2=HB.HC\)

\(\Rightarrow AH^4=\left(HB.HC\right)^2=HB^2.HC^2\)(1)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H có đường cao HD

\(\Rightarrow\)Áp dụng hệ thức \(b^2=a.b^'\)ta có: \(HB^2=BD.AB\)(2)

Tương tự ta có: \(HC^2=EC.AC\)(3)

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A, đường cao AH

\(\Rightarrow\)Áp dụng hệ thức \(ah=bc\)ta có: \(AB.AC=AH.BC\)(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) 

\(\Rightarrow AH^4=BD.AB.CE.AC=BD.CE.AB.AC=BD.CE.AH.BC\)

\(\Rightarrow\frac{AH^4}{AH}=\frac{BD.CE.AH.BC}{AH}\)

hay \(AH^3=BC.BD.CE\)( đpcm )

\(A=\frac{2x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)

a) ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

b) \(=\frac{2x+\sqrt{3^2x}-3}{x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{2x+3\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{2x+3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{2x+3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{2x+3\sqrt{x}-3-x+1-x+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{2+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

c) Đến đây chịu á :'(

xét \(y=2mx-m-1\Leftrightarrow m\left(2x-1\right)=y+1\)

do đso điểm cố định phải thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}2x-1=0\\y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-1\end{cases}}}\)

Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là \(\left(\frac{1}{2};-1\right)\)

ta có điều kiến xác định \(x\ge0\)

\(\frac{x+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}\)

mà \(\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\ge0\)còn \(\sqrt{x}+3\ge3\Rightarrow-\frac{2}{\sqrt{x}+3}\ge-\frac{2}{3}\)

vậy \(M\ge-\frac{2}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi x=0.

Dễ thấy \(x=2+\sqrt{3}\)là nghiệm của phương trình \(x^2-4x+1=0\)

Do đó \(A=\frac{x^4-2x^3+3x^2-38x+5}{\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{\left(x^4-2x^3+3x^2-38x+10\right)-5}{\sqrt{\left(x^2-4x+1\right)+4}}=\frac{\left(x^2-4x+1\right)\left(x^2+2x+10\right)-5}{2}=\frac{-5}{2}=-2,5\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương 4x và \(\frac{1}{4x}\)ta được

4x +\(\frac{1}{4x}\)\(\ge\)1 (1)

Vì  -\(\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}\)+ 2021 \(\ge\)2021 (2)

Từ (1),(2) suy ra 4x + \(\frac{1}{4x}\)-\(\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}\)+ 2021 \(\ge\)2022

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}4x=\frac{1}{4x}\\-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}\end{cases}}=0\)

Vậy Min A là 2022 \(\Leftrightarrow\)Ghi lại cái trên

Tự tìm x nha ^-^

bạn ơi mình tìm ra x=\(\frac{1}{4}\)mình thay vào A thì được kết quả là 2019, vậy bạn làm chưa đúng rùi