https://olm.vn/hoi-dap/detail/265597159120.html

Mik sửa đề xíu ạ:

a) \(\left(\frac{a+b}{a-b}+1\right)\left(\frac{b+c}{b-c}+1\right)\left(\frac{c+a}{c-a}+1\right)\)= \(\left(\frac{a+b}{a-b}-1\right)\left(\frac{b+c}{b-c}-1\right)\left(\frac{c+a}{c-a}-1\right)\)

Đặt \(\frac{a+b}{a-b}=x;\frac{b+c}{b-c}=y;\frac{c+a}{c-a}=z\)thì \(xy+yz+zx=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c-a\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)+\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)và ta cần chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge2\)

Thật vậy, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\forall x,y,z\Rightarrow x^2+y^2+x^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}=0\)

Chú ý: Bài này có thể biến thành bài toán sau:

Cho a,b,c là các số thực khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: \(\frac{a^2+b^2}{\left(a-b\right)^2}+\frac{b^2+c^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{c^2+a^2}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{5}{2}\)

\(\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\frac{a^4+b^4}{a^2b^2}\ge\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2a^2b^2}\)(1)

mà \(\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2a^2b^2}=\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{4a^2b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{4a^2b^2}\)

trong đó \(\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{4a^2b^2}\ge2\) và \(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{4a^2b^2}\ge\frac{4a^2b^2}{4a^2b^2}=1\)

vậy ta có \(\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2a^2b^2}\ge3\)(2)

từ (1) và (2) ta có đpcm.

dấu bằng khi a^2=b^2

Bạn ơi cho mik hỏi:

Vì sao \(\frac{a^4+b^4}{a^2b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2a^2b^2}\)?

\(VT=\frac{25a}{b+c}+25+\frac{16b}{c+a}+16+\frac{c}{a+b}+1-42\)

\(VT=\frac{25\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{16\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-42\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-42\)

\(VT\ge\left(a+b+c\right).\frac{\left(5+4+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-42=8\)

Bạn dùng BĐT gì vậy ạ?

Đề bài sai, BĐT này chỉ đúng khi có thêm điều kiện a;b;c là các số dương

À mik viết nhầm a,b,c dương :)

Đề bài phải có cả điều kiện \(a,b,c\ge0\)nữa chứ bạn

Ta có: \(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}=\left(a^2+\frac{1}{9}\right)+\left(b^2+\frac{1}{9}\right)+\left(c^2+\frac{1}{9}\right)\)

Vì \(a^2\ge0\), \(\frac{1}{9}>0\)

\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô-si với 2 số không âm ta có: 

\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{9}}=\frac{2a}{3}\)

Tương tự ta có: \(b^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2b}{3}\), \(c^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2c}{3}\)

mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\left(a^2+\frac{1}{9}\right)+\left(b^2+\frac{1}{9}\right)+\left(c^2+\frac{1}{9}\right)\ge\frac{2a}{3}+\frac{2b}{3}+\frac{2c}{3}\)

\(=\frac{2a+2b+2c}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{2}{3}\)

hay \(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

ko cần á bạn. Vì a²,b²,c²\(\ge0\)rồi á

\(xy\left(x^2+y^2\right)=xy\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4xy-2x^2y^2=4t-2t^2,\left(t=xy\right)\)

\(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=1\Rightarrow t\le1\).

Ta xét bảng biến thiên của hàm \(f\left(t\right)=4t-2t^2\)với \(t\in(-\infty,1]\)được \(f\left(t\right)\le2\)

Dấu \(=\)đạt tại \(t=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\).. 

Suy ra đpcm.

Bạn còn cách nào không dùng bảng biến thiên của hàm không á. Mik mới lớp 9 nên không hiểu á.