Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
e xem giữa hai phân thức đầu tiên có thiếu dấu gì khong nhỉ
\(ĐK:2x+y\ge0,x+4y\ge0\)
\(\hept{\begin{cases}2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0\left(1\right)\\4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y-2x-1\right)\left(y-x-1\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y-1\\2x=y-1\end{cases}}\)
Th1: x = y - 1 thay vào (2), ta được phương trình: \(4\left(y-1\right)^2-y^2+\left(y-1\right)+4=\sqrt{3y-2}+\sqrt{5y-1}\)\(\Leftrightarrow3y^2-7y+7=\sqrt{3y-2}+\sqrt{5y-1}\)\(\Leftrightarrow3\left(y^2-3y+2\right)=\left(\sqrt{3y-2}-y\right)+\left[\sqrt{5y-1}-\left(y+1\right)\right]\)\(\Leftrightarrow3\left(y^2-3y+2\right)=\frac{3y-2-y^2}{\sqrt{3y-2}+y}+\frac{3y-2-y^2}{\sqrt{5y-1}+y+1}\)\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-2\right)\left(3+\frac{1}{\sqrt{3y-2}+y}+\frac{1}{\sqrt{5y-1}+y+1}\right)=0\)
Mà dễ thấy \(3+\frac{1}{\sqrt{3y-2}+y}+\frac{1}{\sqrt{5y-1}+y+1}>0\)nên \(\orbr{\begin{cases}y-1=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\Rightarrow x=0\\y=2\Rightarrow x=1\end{cases}}\)
Th2: y = 2x + 1 thay vào (2), ta được phương trình: \(4x^2-\left(2x+1\right)^2+x+4=\sqrt{4x+1}+\sqrt{9x+4}\)\(\Leftrightarrow3-3x=\sqrt{4x+1}+\sqrt{9x+4}\) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x+1}-1\right)+\left(\sqrt{9x+4}-2\right)+3x=0\) \(\Leftrightarrow\frac{4x}{\sqrt{4x+1}+1}+\frac{9x}{\sqrt{9x+4}+2}+3x=0\)\(\Leftrightarrow x\left(\frac{4}{\sqrt{4x+1}+1}+\frac{9}{\sqrt{9x+4}+2}+3\right)=0\)
Dễ thấy \(\frac{4}{\sqrt{4x+1}+1}+\frac{9}{\sqrt{9x+4}+2}+3>0\)nên x = 0 => y = 1
Vậy hệ có 2 nghiệm (x, y) = {(0, 1); (1; 2)}
\(ĐKXĐ:x\ge2,y\ge1\)
Pt đã cho tương đương :
\(\left(\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}\right)+\left(\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\right)=28\)(*)
Theo BĐT Cauchy ta có :
\(\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}\ge2.\sqrt{\frac{36}{\sqrt{x-2}}\cdot4\sqrt{x-2}}=24\)
\(\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\ge2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{y-1}}\cdot\sqrt{y-1}}=4\)
Do đó : \(VT\left(1\right)\ge28=VP\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=11\\y=5\end{cases}}\) ( Thỏa mãn )
\(\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)=14x^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)-14x^2=0\)
Đặt \(x^2+0,5x+4=t\)
\(\Rightarrow\left(t-2,5x\right)\left(t+2,5x\right)-14x^2=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-6,25x^2-14x^2=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-20,25x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-4,5x\right)\left(t+4,5x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-4,5x=0\\t+4,5x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=4,5x\\t=-4,5x\end{cases}}\)
TH1: Nếu \(t=-4,5x\)
\(\Rightarrow x^2+0,5x+4=-4,5x\)
\(\Leftrightarrow x^2-0,5x+4+4,5x=0\)\(\Leftrightarrow x^2+5x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)+\left(4x+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x+4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-4\end{cases}}\)
TH2: Nếu \(t=4,5x\)\(\Rightarrow x^2+0,5x+4=4,5x\)
\(\Rightarrow x^2+0,5x+4-4,5x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x=2\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-1;-4;2\right\}\)
Xét x = 0 khi đó PT vô nghiệm
Xét x khác 0 thì ta có:
\(PT\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+4}{x}\cdot\frac{x^2+3x+4}{x}=\frac{14x^2}{x^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2+\frac{4}{x}\right)\left(x+3+\frac{4}{x}\right)=14\)
Đặt \(x+\frac{4}{x}=y\) khi đó:
\(PT\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(y+3\right)=14\)
\(\Leftrightarrow y^2+y-20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-4\right)\left(y+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-4=0\\y+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=4\\y=-5\end{cases}}\)
Nếu \(y=4\Leftrightarrow x+\frac{4}{x}=4\Leftrightarrow\frac{x^2+4}{x}=4\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\)
Nếu \(y=-5\Leftrightarrow x+\frac{4}{x}=-5\)
\(\Leftrightarrow x^2+5x+4=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-4\end{cases}}\)
Vậy \(S=\left\{-4;-1;2\right\}\)
Bài này dạng đa thức đối xứng
Xét x = 0 => PT vô nghiệm
Xét x khác 0 thì khi đó:
\(PT\Leftrightarrow x^2-4x+5-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=y\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2\) thay vào ta được:
\(PT\Leftrightarrow y^2-2-4y+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-1=0\\y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=3\end{cases}}\)
Nếu \(y=1\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+1=0\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}\left(ktm\right)\)
Nếu \(y=3\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=3\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
Vậy \(S=\left\{\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right\}\)
Phản ví dụ \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;0\right)\)
BĐT sai
i) \(\hept{\begin{cases}x.\left(x+y+1\right)-3=0\left(1\right)\\\left(x+y\right)^2-\frac{5}{x^2}-1=0\left(2\right)\end{cases}}\)
\(ĐKXĐ:x\ne0\)
Từ phương trình (1) có
\(x+y+1=\frac{3}{x}\Rightarrow x+y=\frac{3}{x}-1\) Thay vào pt (2) có :
\(\left(\frac{3}{x}-1\right)^2-\frac{5}{x^2}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{x^2}-\frac{6}{x}=0\)
\(\Leftrightarrow4-6x=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ _
\(\Rightarrow y=\frac{5}{x}-1-x=\frac{17}{6}\)
Thử lại thấy \(\left(x,y\right)=\left(\frac{2}{3},\frac{17}{6}\right)\) thỏa mãn.hệ .
ii) \(\hept{\begin{cases}x^3-y^3-3y^2=9\left(1\right)\\x^2+y^2=x-4y\left(2\right)\end{cases}}\)
ĐKXĐ : \(x,y\inℝ\)
Pt (2) tương đương :
\(3x^2+3y^2=3x-12y\). (3)
Trừ vế của pt (1) cho pt (3) có :
\(x^3-y^3-3y^2-\left(3x^2+3y^2\right)=9-3x+12y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-3x^2+3x-1\right)-\left(y^3+6y^2+12y+8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3-\left(y+2\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-3\right).\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right).\left(y+2\right)+\left(y+2\right)^2\right]=0\)
\(\Rightarrow x=y+3\). Thay vào pt (2) có :
\(\left(y+3\right)^2+y^2=y+3-4y\)
\(\Leftrightarrow2y^2+9y+6=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{-9+\sqrt{33}}{4}\\y=\frac{-9-\sqrt{33}}{4}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\\y=\frac{-9+\sqrt{33}}{4}\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}x=\frac{3-\sqrt{33}}{4}\\y=\frac{-9-\sqrt{33}}{4}\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\\x=\frac{3-\sqrt{33}}{4}\end{cases}}\) ( Thỏa mãn )
Vậy : ....