đề có sai không e, sao lại có OC=3R, còn ý sau đơn giản chỉ là dùng hệ thức lượng ta có CD^2=CA.CB mà CD^2=CD.CE thôi e nhé

Theo giả thiết, ta có: \(ab+bc+ca+abc=4\)\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12=abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)=\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: \(P=\frac{4}{\left[\left(a+b\right)^2+4\right]+16}+\frac{4}{\left[\left(b+c\right)^2+4\right]+16}+\frac{4}{\left[\left(c+a\right)^2+4\right]+16}\)\(\le\frac{4}{4\left(a+b\right)+16}+\frac{4}{4\left(b+c\right)+16}+\frac{4}{4\left(c+a\right)+16}\)\(=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}+\frac{1}{\left(b+2\right)+\left(c+2\right)}+\frac{1}{\left(c+2\right)+\left(a+2\right)}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

ĐK: \(x+y\ge0\)

pt (1) \(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+1}-\sqrt{3\left(x+y\right)}=4\left(x+y\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x+2y-1}{\sqrt{x+y+1}+\sqrt{3\left(x+y\right)}}+\left(2x+2y-1\right)\left(2x+2y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+2y-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+y+1}+\sqrt{3\left(x+y\right)}}+2\left(x+y\right)+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+2y-1=0\)

Từ đó ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}2x+2y-1=0\\2x-y=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\x=\frac{-1}{6}\end{cases}}}\)