Ta có: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

\(=\sqrt{\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{2}}+\sqrt{\frac{2\left(b^2+c^2\right)}{2}}+\sqrt{\frac{2\left(c^2+a^2\right)}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}}+\sqrt{\frac{\left(1+1\right)\left(b^2+c^2\right)}{2}}+\sqrt{\frac{\left(1+1\right)\left(c^2+a^2\right)}{2}}\)

\(\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^2}{2}}\) (Bunyakovsky)

\(=\frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{b+c}{\sqrt{2}}+\frac{c+a}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách khác sử dụng BĐT Minkowski:

Ta có: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(b+c+a\right)^2}\)

\(=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=y\left(y\ge1\right)\)

\(pt\Leftrightarrow\left(4x-1\right)y=2y^2+2x-1\)

\(\Leftrightarrow2y^2-4xy+2x+y-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2-4xy+2y\right)-\left(y-2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2y\left(y-2x+1\right)-\left(y-2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2x+1\right)\left(2y-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2x-1\\y=\frac{1}{2}< 1\left(lo\text{ại}\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=2x-1\Leftrightarrow x^2+1=4x^2-4x+1\)

\(\Leftrightarrow x\left(3x-4\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{4}{3}\end{cases}}\)

Vì a<1 \(\Rightarrow a^2< 1\)

b<1 \(\Rightarrow\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\Rightarrow1+a^2b-a^2-b>0\)

Hay \(1+a^2b>a^2+b\)

Mặt khác \(0< a,b< 1\Rightarrow a^2>a^3;b>b^3\Rightarrow b+a^2>a^3+b^3\Rightarrow a^3+b^3< 1+a^2b\)

Tương tự ta có: \(b^3+c^3< 1+b^2c;a^3+c^3< 1+c^2a\)

Vậy ta có đpcm

Khá là cơ bản 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta có:

\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)

\(y^4+z^4\ge2\sqrt{y^4z^4}=2y^2z^2\)

\(z^4+x^4\ge2\sqrt{z^4x^4}=2z^2x^2\)

Cộng vế với vế ta được 

\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\left(1\right)\)

Tương tự 

\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2\ge\text{​​}xy^2z+xyz^2+x^2yz=xyz\left(x+y+z\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh 

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z