giả sử \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\)là số hữu tỉ

do đó phải tồn tại hai số nguyên a,b sao cho

\(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}=\frac{a}{b}\left(b\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{3}=\frac{a}{b}-\sqrt{2}\) lập phương hai vế ta có \(3=\frac{a^3}{b^3}-\frac{3a^2}{b^2}\sqrt{2}+\frac{6a}{b}-2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow3=\frac{a^3}{b^3}+\frac{6a}{b}-\sqrt{2}\left(\frac{3a}{b}+2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(\frac{3a}{b}+2\right)=\frac{a^3}{b^3}+\frac{6a}{b}-3\)vô lý do vế trái vô tỉ, vế phải hữu tỉ

vậy giả sử là sai hay số đã cho là vô tỉ

cho hỏi cái đề 

Đặt \(a_1=\sqrt{a},a_2=\sqrt{a+\sqrt{a}}=\sqrt{a+a_1}\)

\(a_3=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}=\sqrt{a+a_2};....\)

\(a_n=\sqrt{a+\sqrt{a+...}}=\sqrt{a+a_{n-1}};....\)

Dễ thấy: \(a_1< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\)

giả sử ta có \(a_k< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\)

Do đó \(a^2_{k+1}=a+a_k< a+\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}=\frac{2a+1+\sqrt{4a+1}}{2}\)

\(=\frac{1+2\sqrt{4a+1}+\left(4a+1\right)}{4}=\left(\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\right)^2\)

Mà \(a_{k+1}>0\Rightarrow a_{k+1}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\)

BĐT đúng khi n=k+1

Vậy ta có đpcm

Do a là chính phương nên \(a\in\left\{1;4;9\right\}\)

Ta có: \(9^2=81,10^2=100\)nên không có số dạng \(\overline{9x}\)là chính phương => a=1 hoặc a=4

+ Do \(\overline{ad}\)chính phương nên \(\orbr{\begin{cases}\overline{ad}=16\\\overline{ad}=49\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}d=6\\d=9\end{cases}}\)

+ Do \(\overline{cd}\)chính phương nên \(\overline{cd}=16\)hoặc \(\overline{cd}=36\)hoặc \(\overline{cd}=49\)

=> c=1 hoặc c=3 hoặc c=4

+ Nếu a=1, d=6, c=1 hoặc c=3 Khi đó \(\overline{abcd}=\overline{1b16}\)hoặc \(\overline{abcd}=\overline{1b36}\). Vì \(\overline{1bc6}=\left(\overline{x4}\right)^2\)hoặc \(\overline{1bc6}=\left(\overline{x6}\right)^2\)nên ta có: \(26^2=676,34^2=1156,36^2=1296,44^2=1936,46^2=2126\)

Chỉ có 1936 là thỏa mãn 

+ Nếu a=4,d=9,c=4 . Khi đó \(\overline{abcd}=\overline{4b49}=\left(\overline{x3}\right)^2hay\overline{abcd}=\left(\overline{x7}\right)^2\)

Ta có \(63^2=3969;67^2=4489,73^2=5329\)( không có số nào thỏa mãn)

Vậy a=1,b=9,c=3,d=6

Cộng theo vế của hệ ta có:

\(x^4-2x^2\left(y-1\right)+y^2-2y=3\Leftrightarrow x^4-2x^2\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\text{[}x^2-\left(y-1\right)\text{]}^2=4\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-\left(y-1\right)=2\\x^2-\left(y-1\right)=-2\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=y+1\\x^2=y-3\end{cases}}}\)

Nếu \(x^2=y+1\left(\Rightarrow y\ge-1\right)\)thay vào pt(2) ta được:

\(2\left(y+1\right)^2+y^2-2y=2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=\frac{-2}{3}\end{cases}}\)

+) \(y=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

+) \(y=\frac{-2}{3}\Rightarrow x^2=\frac{1}{3}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)

Nếu \(x^2=y-3\left(\Rightarrow y\ge3\right)\)thay vào pt(2) => 

\(2\left(y-3\right)^2+y^2-2y=2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=\frac{8}{3}\left(lo\text{ại}\right)\end{cases}}\)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right),\left(1;0\right),\left(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{-2}{3}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{-2}{3}\right)\)

ĐK: \(x\ge-1\)

PT \(\Leftrightarrow2\left(x^2-x+1\right)-2\left(x+1\right)=3\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x^2-x+1}-2\sqrt{x+1}\right)=0\)( đoạn này e có thể đặt ẩn phụ)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4\left(x^2-x+1\right)=\left(x+1\right)\\\left(x^2-x+1\right)=4\left(x+1\right)\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4x^2-5x+3=0\\x^2-5x-3=0\end{cases}}\)từ đâu dễ dàng làm tiếp

bạn trong đội tuyển toán à ?

 \(17+x=2\sqrt{4-x}+6\sqrt{2x+3}\left(đk:-\frac{3}{2}\le x\le4\right)\)

\(< =>18-6\sqrt{2x+3}-3+x+2-2\sqrt{4-x}=0\)

\(< =>\frac{324-36\left(2x+3\right)}{18+6\sqrt{2x+3}}+\left(x-3\right)+\frac{4-4\left(4-x\right)}{2+2\sqrt{4-x}}=0\)

\(< =>\frac{-72\left(x-3\right)}{28+6\sqrt{2x+3}}+\frac{x-3}{1}+\frac{4\left(x-3\right)}{2+2\sqrt{4-x}}=0\)

\(< =>\left(x-3\right)\left(1+\frac{2}{1+\sqrt{4-x}}-\frac{36}{24+3\sqrt{2x+3}}\right)=0\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}x=3\\\frac{2}{1+\sqrt{4-x}}+\frac{\sqrt{2x+3}-4}{8+\sqrt{2x+3}}=0\end{cases}}\)Ta có \(\frac{2}{1+\sqrt{4-x}}\ge\frac{2}{3};\frac{\sqrt{2x+3}-4}{8+\sqrt{2x+3}}\ge-\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta được \(\frac{2}{1+\sqrt{4-x}}+\frac{\sqrt{2x+3}-4}{8+\sqrt{2x+3}}\ge\frac{1}{6}>0\)

Suy ra phương trình trên chỉ có 1 nghiệm duy nhất là \(x=3\)