\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\x^3-y^3=2xy+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=1\\x^3-y^3=2xy+3\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x^3-y^3=2xy+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\\left(y+1\right)^3-y^3\end{cases}=2\left(y+1\right)y+3}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\\left(y-1\right)^3-y^3=2\left(y-1\right)y+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\y^3+3y^2+3y+1-y^3=2y^2+2y+3\end{cases}}\)

hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\y^3-3y^2+3y-1-y^3=2y^2-2y+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\y^2+y-2=0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\y^2-y+\frac{4}{5}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\\left(y-1\right)\left(y+2\right)=0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{20}=0\left(VN\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)

a) Đồ thị \(y=\frac{-1}{2}x+\frac{3}{2}\)có \(\hept{\begin{cases}x=0\Rightarrow y=\frac{3}{2}\\y=0\Rightarrow x=3\end{cases}}\)

Đồ thị y=|x| = \(\hept{\begin{cases}xkhix\ge0\\-xkhix\le0\end{cases}}\)

hình:.....

b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại 2 điểm có toạ độ M(1;1) và N(-3;3)

Ta có:\(OM=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\Rightarrow OM^2=2\)

\(ON=\sqrt{3^2+\left(-3\right)^2}=3\sqrt{2}\Rightarrow ON^2=18\)

\(MN=\sqrt{\left(1-3\right)^2+\left(1-3\right)^2}=\sqrt{20}\Rightarrow MN^2=20\)

Vì \(OM^2+ON^2=MN^2\)

Vậy tam giác OMN vuông tại O (đpcm)

a,rút gọn đc \(\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

b, cho\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6\)tìm giá trị lớn nhất của A

b) theo bđt Cô-si ta có:

\(6=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{xy}}}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}\le9\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{9}\)

Vậy maxA = 9 khi x=y=1/9

C1 : 

\(A=x+y=1.\left(x+y\right)=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{x}\right)\left(x+y\right)=a+\frac{ay}{x}+\frac{bx}{y}+b\)

Theo bđt Cauchy với 2 số dương , ta có : \(\frac{ay}{x}+\frac{bx}{y}\ge2\sqrt{\frac{ay}{x}.\frac{bx}{y}}=2\sqrt{ab}\)

Do đó : \(A\ge a+b+2\sqrt{ab}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(minA=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)với \(\hept{\begin{cases}\frac{ay}{x}=\frac{bx}{y}\\\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1\\x,y>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=a+\sqrt{ab}\\y=b+\sqrt{ab}\end{cases}}\)

C2 :

Dùng bđt Bunhiacôpxki , ta có 

\(A=\left(x+y\right).1=\left(x+y\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\right)\ge\left(\sqrt{x.\frac{a}{x}}+\sqrt{y.\frac{b}{y}}\right)^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Từ đó ta tìm được GTNN của A

Bài này mình có 2 cách giải bạn nhé , bạn giải 1 trong 2 cách cách nào cũng được

Cách 1 : Dùng bđt Bunhiacôpxki . Ta có :

\(\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2-y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)\)

Đặt \(x^2+y^2=m\), ta được : \(1^2\le m\left(2-m\right)\Rightarrow\left(m-1\right)^2\le0\Rightarrow m=1\left(đpcm\right)\)

Cách 2 : Từ giả thiết \(x\sqrt{1-y^2}=1-y\sqrt{1-x^2}\) . Bình phương 2 vế :

\(x^2\left(1-y^2\right)=1-2y\sqrt{1-x^2}+y^2\left(1-x^2\right)\Rightarrow x^2=1-2y\sqrt{1-x^2}+y^2\)

\(0=\left(y-\sqrt{1-x^2}\right)^2\Rightarrow y=\sqrt{1-x}^2\Rightarrow x^2+y^2=1\)

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\)(ĐK: \(\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\))

\(VP=3\left(x^2-4x+4\right)+2=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

\(VT=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-3x\right)}=2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=2\).

Vậy \(x=2\).

\(a^2\left(b+c\right)-b^2\left(c+a\right)=\left(a-b\right)\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(a^2\left(b+c\right)=a\left(ab+ac\right)=a\left(-bc\right)=-abc=2020\Leftrightarrow abc=-2020\)

\(c^2\left(a+b\right)=c\left(ac+bc\right)=c\left(-ab\right)=-abc=2020\)

Vì a,b,c >0 

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có

\(\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)\le\left(a+1+b+1+c+1\right)3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)\le12\left(via+b+c=1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\sqrt{12}\)(2)

Mà \(\sqrt{12}< 3,5\)(2)

Từ (1) (2) suy ra đpcm

Ý b cũng chứng minh tương tự vs bđt Bunhiacopxki nhé

Để d cắt 2 trục toạ độ thì m khác -1;2

GIẢ sử (d) cắt 2 trục toạ độ tại 2 điểm A và B, ta tính được toạ độ: \(A\left(\frac{3}{m+1};0\right);B\left(0;\frac{3}{m-2}\right)\)

tam giác OAB vuông tại O nên \(S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left|\frac{3}{m+1}\right|\left|\frac{3}{m-2}\right|\)

\(S_{\Delta OAB}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\frac{3}{m+1}\right|\left|\frac{3}{m-2}\right|=\frac{9}{2}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\\m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\left(tmđk\right)}\)