ta sẽ chứng minh \(\frac{x^{2020}+y^{2020}}{x^{2019}+y^{2019}}\ge\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow2\left(x^{2020}+y^{2020}\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^{2019}+y^{2019}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^{2020}+y^{2020}\ge xy^{2019}+x^{2019}y\)(*)    điều này đúng do

\(\hept{\begin{cases}2019x^{2020}+y^{2020}=x^{2020}+..+x^{2020}+y^{2020}\ge2020.x^{2019}y\\x^{2020}+2019y^{2020}=x^{2020}+y^{2020}+..+y^{2020}\ge2020.xy^{2019}\end{cases}}\)cộng hai BDT lại ta sẽ có (*) đúng

vậy \(\frac{x^{2020}+y^{2020}}{x^{2019}+y^{2019}}+\frac{y^{2020}+z^{2020}}{y^{2019}+z^{2019}}+\frac{z^{2020}+x^{2020}}{z^{2019}+x^{2019}}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=2020\)

dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2020}{3}\)

a/

\(BC^2=5^2=25\)

\(AB^2+AC^2=4^2+3^2=16+9=25\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2=25\) => tg ABC vuông tại A

b/

Theo t/c đường phân giác 

\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow BD=\frac{5}{4+3}x4=\frac{20}{7}\Rightarrow CD=5-\frac{20}{7}=\frac{15}{7}\)