Cho 2 đường tròn O và O(1) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO(1) cắt đường tròn taamO và đường tròn tâm O(1) tại các điểm A B C D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF ( E thuộc dt tâm O, F thuộc dt tâm O(1). Gọi M là giao điểm của AE và DM, N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:

 - Tứ giác MENF là hình chữ nhật

 - MN vuông góc với AD

 - ME.MA=MF.MD 

a) Kẻ \(AH\perp BC,I\in BC\)cố định . Ta có \(\widehat{BMA}=\widehat{BIA}=90^o\)nên tứ giác AMBI nội tiếp hay \(\widehat{AIM}=\widehat{ABM}\)

Ta lại có tứ giác AMPC nội tiếp nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACP}\)

Do đó \(\widehat{AIM}=\widehat{ACP}\)(1)

Mặt khác : \(\widehat{AIC}=\widehat{ANC}=90^o\)nên tứ giác AINC nội tiếp , suy ra :

\(\widehat{ACP}+\widehat{AIN}=180^o\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat{AIM}+\widehat{AIN}=180^o\)

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I

b)

Tứ giác BCDE nội tiếp , suy ra : \(\widehat{AED}=\widehat{ACD}\)

Kéo dài AO cắt (O;R) tại điểm A' , ta có :

\(\widehat{EAO}+\widehat{AED}=\widehat{BAA'}+\widehat{ACB}=90^o\)

\(\Rightarrow AO\perp DE\Rightarrow S_{AEOD}=\frac{1}{2}AO.DE=\frac{1}{2}R.DE\)

Tương tư ta lại có : \(S_{BEOI}=\frac{1}{2}R.EI;S_{CDOI}=\frac{1}{2}R.ID\)

Vậy : \(S_{ABC}=S_{AEOD}+S_{BIOE}+S_{CDOI}=\frac{1}{2}R.\left(DE+EI+ID\right)\)

\(\Rightarrow DE+EI+ID=\frac{2.S_{ABC}}{R}=\frac{2a^2}{R}\)( không đổi )

AB=40.AC=48 mà AB=AC (vô lí) =>ko tìm đc

\(P=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x+5\right)^2-1\)

ta tìm min; max của (x^2+5x+5)^2

\(\text{Thấy ngay: }max_{x^2+5x+5}=4^2+5.4+5=41\)

nên max P sẽ là: 40.42

\(x^2+5x+5\text{ ta tìm min của: }x^2+5x\text{ với: }-1\le x\le4\)

x=-1 thì  bằng -4; nên ta bỏ TH x>=0

bây h chỉ xét -1=< x <0

giả sử tồn tại a sao cho: a^2+5a<-4 khi đó: (a+1)(a+5)<0 vô lí 

nên min sẽ là: 0

ĐK: \(x,y\ge0\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}=6\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+2\sqrt{xy}=16\\x+y+10+2\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}=36\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}=5+\sqrt{xy}\)

Ta có: \(\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}=\sqrt{\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^2\right]}\)

                                                       \(\ge\sqrt{\left(\sqrt{xy}+5\right)^2}=\sqrt{xy}+5\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y\).

Thế vào \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\)ta được \(2\sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=4\)(thỏa) suy ra \(y=x=4\)(thỏa).

\(\hept{\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11\\x^2+2xy+3y^2=17\end{cases}}\Rightarrow17\left(3x^2+2xy+y^2\right)-11\left(x^2+2xy+3y^2\right)=40x^2+12xy-16y^2=0\)

- \(y=0\)thế vào hệ phương trình ta được: \(\hept{\begin{cases}3x^2=11\\x^2=17\end{cases}}\)(vô lí)

- \(y\ne0\): chia 2 vế của phương trình \(40x^2+12xy-16y^2=0\)cho \(y^2\)ta được: 

\(40\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{12x}{y}-16=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\\\frac{x}{y}=-\frac{4}{5}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2x\\y=-\frac{5}{4}x\end{cases}}}\)

Với \(y=2x\): \(3x^2+2x.2x+\left(2x\right)^2=11\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow y=-2\\x=-1\Rightarrow y=-2\end{cases}}\)

Với \(y=-\frac{5}{4}x\): \(3x^2+2x.\frac{-5}{4}x+\left(-\frac{5}{4}x\right)^2=11\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow y=\frac{5}{\sqrt{3}}\\x=\frac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow y=-\frac{5}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)