tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: \(x^2\left(y+3\right)=y\left(x^2-3\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
KN
10 tháng 12 2020
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)thì \(0< x,y,z\le1\)và \(18\left(xy+yz+zx\right)+27xyz=32\)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\)
Ta có: \(32=18\left(xy+yz+zx\right)+27xyz\le18.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+27.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)\(=6\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z-2\right)\left(x+y+z+4\right)^2\ge0\Leftrightarrow x+y+z\ge2\)(Do \(x+y+z>0\))
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{4}{3}\)
\(P=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\le\sqrt{3\left(3-x^2-y^2-z^2\right)}=\sqrt{3\left[3-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]}\)\(\le\sqrt{3\left(3-\frac{4}{3}\right)}=\sqrt{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)
MN
0