Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)thì \(0< x,y,z\le1\)và \(18\left(xy+yz+zx\right)+27xyz=32\)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\)

Ta có: \(32=18\left(xy+yz+zx\right)+27xyz\le18.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+27.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)\(=6\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z-2\right)\left(x+y+z+4\right)^2\ge0\Leftrightarrow x+y+z\ge2\)(Do \(x+y+z>0\))

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{4}{3}\)

\(P=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\le\sqrt{3\left(3-x^2-y^2-z^2\right)}=\sqrt{3\left[3-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]}\)\(\le\sqrt{3\left(3-\frac{4}{3}\right)}=\sqrt{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)

Cần gấp ạ huhu

cần cái con đĩ mẹ mày

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và bất đẳng thức Cauchy, ta được:\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{4ab}+4ab\right)+\frac{1}{4ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{4ab.\frac{1}{4ab}}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=4+2+1=7\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)