Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Trên tia đối thuộc HA lấy D sao cho HD=HA. Trên tia đối của CB lấy E sao cho CE = CB. Chứng minh rằng:
a)AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
b)C là trọng tâm của tam giác ADE
c)Gọi M là giao điểm của AC và DE. Chứng minh HM//AE và HM=\(\dfrac{1}{2}\)AE
Giải
a;Xét tam giác ABC cân tại A;
AH \(\perp\) BC
⇒ AH là trung tuyến của BC (trong tam giác cân đường cao cũng là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác của tam giác đó)
⇒ H là trung điểm của BC
b; H là trung điểm của BC (cmt)
⇒ HE là trung tuyến của AD (1)
HC = \(\dfrac{1}{2}\)BC (H là trung điểm BC cmt)
BC = CE (gt)
⇒ HC = \(\dfrac{1}{2}\)CE; mà HC + CE = HE ⇒ \(\dfrac{1}{2}\)CE + CE = HE ⇒ \(\dfrac{3}{2}\)CE = HE
CE = (1 : \(\dfrac{3}{2}\))HE ⇒ CE = \(\dfrac{2}{3}\)HE (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: C là trọng tâm tam giác ADE
c; C là trọng tâm tam giác ADE (cmt)
⇒ AM là trung tuyến DE ⇒ M là trung điểm DE (*)
H là trung điểm AD (gt) (**)
Kết hợp (*); (**) ta có: HM là đường trung bình của tam giác ADE
⇒ HM // AE và HM = \(\dfrac{1}{2}\) AE (đpcm)