1 2 60 o D K B O H E E

a) Tam giác ABC đều => \(\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

+) BDO có : \(\widehat{B}+\widehat{D_1}+\widehat{BOD}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{D_1}=180^o-\widehat{B}-\widehat{BOD}\)

            \(=180^o-60^o-\widehat{BOD}\)

            \(=120^o-\widehat{BOD}\left(1\right)\)

Ta lại có :

\(\widehat{BOD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOC}=\widehat{BOC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EOC}=180^o-\widehat{DOE}-\widehat{BOD}\)

                 \(=180^o-60^o-\widehat{BOD}\)

                 \(=120^o-\widehat{BOD}\)

Từ (1) và (2) , ta có : \(\widehat{D_1}=\widehat{EOC}\)

Tam giác BOD và CEO có :

\(\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

\(\widehat{D_1}=\widehat{EOC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BOD~\Delta CEO\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{CE}=\frac{BD}{CO}\)

\(\Rightarrow BD.CE=BO.CO=\frac{BC^2}{4}\)( không đổi )

b) \(\Delta BOD~\Delta CEO\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{EO}=\frac{BD}{CO}\)

mà \(CO=BO\Rightarrow\frac{OD}{EO}=\frac{BD}{BO}\)

Tam giác BOD và OED có :

\(\widehat{B}=\widehat{O}\left(=60^o\right)\)

\(\frac{BD}{BO}=\frac{OD}{OE}\)

\(\Rightarrow\Delta BOD~\Delta OED\)

\(\Rightarrow\widehat{BDO}=\widehat{ODE}\)

=> OD là tia phân giác của góc BDE

c) 

Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB

=> R = OK

O thuộc đường phân giác của góc BDE

=> OH = OK.

=> OH = R

=> DE tiếp xúc với (O; R) ( đpcm )

\(\hept{\begin{cases}3x+5y=20\\3x+4y=18\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{20-5y}{3}\\y=2\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{10}{3}\\y=2\end{cases}}\)

Vậy: ...

\(\hept{\begin{cases}3x+5y=20\left(1\right)\\3x+4y=-18\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2) theo vế :

<=> y = 38

Thế y = 2 vào (1)

<=> 3x + 5.38 = 20

<=> 3x + 190 = 20

<=> 3x = -170

<=> x = -170/3

Vậy hpt có nghiệm duy nhất \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{170}{3}\\y=38\end{cases}}\)