a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác BEFI có \(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAIF vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có

\(\widehat{FAI}\) chung

Do đó: ΔAIF~ΔAEB

=>\(\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\)

=>\(AI\cdot AB=AF\cdot AE\)

Xét ΔACB vuông tại C có CI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AC^2\)

=>\(AC^2=AF\cdot AE\)

a) Xét tứ giác BEDC có:

∠BEC = ∠BDC = 90⁰ (gt)

⇒ D và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90⁰

⇒ BEDC nội tiếp

b) Do BEDC nội tiếp (cmt)

⇒ ∠EBD = ∠ECD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

⇒ ∠ABM = ∠ACN

Mà ∠ABM là góc nội tiếp chắn cung AM của (O)

∠ACN là góc nội tiếp chắn cung AN

⇒ cung AM = cung AN

⇒ A là điểm chính giữa của cung MN

c) Do BEDC nội tiếp (cmt)

⇒ ∠BDE = ∠BCE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

⇒ ∠BDE = ∠BCN

Mà ∠BCN = ∠BMN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN của (O))

⇒ ∠BDE = ∠BMN

Mà ∠BDE và ∠BMN là hai góc đồng vị

⇒ DE // MN

Câu 2:

1; Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=7\\3x-2y=16\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=7-y\\3x=16+2y\end{matrix}\right.\)

 \(\left\{{}\begin{matrix}x=7-y\\3.\left(7-y\right)=16+2y\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=7-y\\21-3y=16+2y\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=7-y\\2y+3y=21-16\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=7-y\\5y=5\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=7-y\\y=5:5\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=7-y\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=7-1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy (\(x;y\)) = (6; 1)

2; Đường thẳng y = (m - 3)\(x\) + 2m -  2 cắt đường thẳng y = 3\(x\) - 2

tại một điểm trên trục hoành nên y = 0

Ta có hệ phương trình: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)x+2m-2=0\\3x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)x+2m-2=0\\3x=2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)x+2m-2=0\left(1\right)\\x=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x\) = \(\dfrac{2}{3}\) vào phương trình (1) ta có:

(m - 3)\(\dfrac{2}{3}\) + 2m - 2= 0

\(\dfrac{2}{3}\)m - 2 + 2m -  2 = 0

  \(\dfrac{2}{3}\)m + 2m = 2 + 2

    \(\dfrac{8}{3}\)m = 4

       m = 4 : \(\dfrac{8}{3}\)

       m = \(\dfrac{3}{2}\) 

Kết luận với m = \(\dfrac{3}{2}\) thì phương trình đường thẳng y = (m - 3)\(x\) + 2m - 2 cắt đường thẳng y = 3\(x\) - 2 tại một điểm trên trục hoành. 

a: Xét tứ giác EHFC có \(\widehat{HEC}+\widehat{HFC}=90^0+90^0=180^0\)

nên EHFC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD\(\perp\)AB

mà CH\(\perp\)AB

nên CH//BD

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó; ΔACD vuông tại C

=>CD\(\perp\)AC

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//CD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

Xét ΔOAM vuông tại A có \(cosAOM=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AOM}=60^0\)

=>\(\widehat{AOK}=60^0\)

=>\(sđ\stackrel\frown{AK}_{nhỏ}=60^0\)

\(\sqrt{3+\sqrt{x}}=2\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow3+\sqrt{x}=4\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\left(N\right)\).

Vậy: \(x=1.\)

Điểm nằm trên trục tung thì có hoành độ là 0

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:

2x + m² + 1 = x + 2 (1)

Thay x = 0 vào (1), ta có:

2.0 + m² + 1 = 0 + 2

⇔ m² + 1 = 2

⇔ m² = 2 - 1

⇔ m² = 1

⇔ m = -1 hoặc m = 1

Vậy m = -1; m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Đáp án D.